Kurvenintegrale erster Art

Question

Aufgabe:

Parametrisierung

Problem/Ansatz:

Hallo, richtig sollen die rot gezeichneten Grenzen 0 bis 1 sein - dies wären die Grenzwerte von y, das verstehe ich. Ich verstehe aber nicht, wieso man da nicht mit den x -Grenzen rechnen sollte?

Danke für jeden Tipp! LG

ll entlang einer Geraden \( C_{1} \) berechnet werden, die die Punkte \( \left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right) \) verbindet.

- Parametrisieren: \( \mu=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)+\omega\left(\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right) \)
\( =\left(\begin{array}{c} 2 b \\ -b \end{array}\right) \)
v(j).jidh
\( \int \limits_{0}^{2}\left(\begin{array}{c}-4 k^{3} \\ 2 k^{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right) d k \)
\( \begin{aligned} =\int \limits_{0}^{2} & -10 k 0^{3} d k \\ & =-10 \cdot \frac{d^{4}}{4}=-\frac{5}{2} \cdot b^{4} /^{2} \end{aligned} \)

Answer 1

Das ist ein Kurvenintegral zweiter Art.

Die Kurve ist laut Foto per \(k\begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix}\) mit \(k \in [0,1]\) zu parametrisieren. Nicht fälschlicherweise mit \(k\begin{pmatrix} 2\\-1\end{pmatrix}\). Das ändert dann auch das Vorzeichen des Ergebnisses.

Das Kurvenintegral läuft dann nur noch über den Parameter \(k\).

Du musst also die Grenzen \(k=0\) und \(k=1\) in den Ausdruck \(\frac 52 k^4\) einsetzen.

$$\left. \frac 52 k^4\right|_0^1 = \frac 52$$

Comments

Danke für die Antwort!

Wieso nicht mit 0<=k<=2?

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Weil der Parameter \(k\) von 0 bis 1 und nicht von 0 bis 2 läuft.

Answer 2

Aloha :)

Die Verbindungsgerade von \((0|0)\) nach \((2|1)\) wird parametrisiert durch:$$\vec r=\binom{0}{0}+t\cdot\binom{2}{1}=\binom{2t}{t}\quad;\quad t\in[0;1]$$Für \(t=0\) erhalten wir den Punkt \((0|0)\) und für \(t=1\) erhalten wir den Punkt \((2|1)\). Daher wird der Parameter \(t\) auf das genannte Intervall \([0;1]\) eingeschränkt.

Das Kurvenintegral über Kraftfeld \(\vec K(\vec r)=\binom{x^2y}{xy^2}\) entlang des obigen Weges ist daher:$$E\!\!=\int\limits_{(0|0)}^{(2|1)}\!\!\vec K(\vec r)\,d\vec r=\!\int\limits_0^1\vec K(\vec r(t))\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\!\int\limits_0^1\binom{(2t)^2\cdot t}{2t\cdot t^2}\binom{2}{1}\,dt\!=\int\limits_0^1\!10t^3\,dt=\left[\frac{5}{2}t^4\right]_0^1=\frac52$$

Comments

Danke!

Also man schaut dann immer, was man hinter t einsetzen soll, damit man den Anfangspunkt/Endpunkt bekommt und dies ist dann der Intervall, über den wir integrieren müssen?

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Entschuldige, ich bin in diesem etwas unerfahren und versuche, es zu verstehen :)

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Das Wegintegral hat einen konkreten Start- und einen konkreten Endpunkt. Du musst diesen Weg durch eine Variable beschreiben, deren Startwert den Startpunkt repräsentiert und deren Endwert den Endpunkt repräsentiert.