Taylorpolynom der 6. Ordnung f(x) = 1-cos(x)/x2 → Hinweis:

Question

Aufgabe: Taylorpolynom

Unter Verwendung bekannter Taylorpolynom berechne man das Taylorpolynom T_n(x) vom Grad n mit dem Entwicklungsgrad x₀ für

f(x) = $\frac{1-cos(x)}{x^{2}}$, n = 6, x0 = 0

Hinweis: Verwende man das entsprechende Polynom für die Funktion cos(x), bilde den Ausdruck 1-cos(x) und dividiere diesen dann durch $x^{2}$.

Problem/Ansatz:

Ansatz:

Taylorpolynom von cos(x) habe ich bereits gebildet

Problem:

Ich versteh die weitere Vorgehensweise nicht, was muss ich dann machen wenn ich das Polynom von cos(x) habe?

Was muss ich mit dem Ausdruck: 1-cos(x) machen und mit dem dividieren durch $x^{2}$

Lg Flo :)

Answer 1

Vermutlich ist es etwa folgendermaßen gemeint:$$\begin{aligned}f(x)&=\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1-\big(1-\frac12x^2+\frac1{24}x^4-\frac1{720}x^6+\frac1{40320}x^8+O(x^{10})\big)}{x^2}\\&=\frac{\frac12x^2-\frac1{24}x^4+\frac1{720}x^6-\frac1{40320}x^8+O(x^{10})}{x^2}\\&=\frac12-\frac1{24}x^2+\frac1{720}x^4-\frac1{40320}x^6+O(x^8).\end{aligned}$$

Comments

Aber ist der das Taylorpolynom 6. Grades von cos(x) nicht nur:

T_n(x)=1-$\frac{x^{2}}{2!}$+$\frac{x^{4}}{4!}$-$\frac{x^{6}}{6!}$

Dann einfach den Ausdruck bilden so wie du es gemacht hast, also einfach das Taylorpolynom in die Funktion einsetzen und ausrechnen?

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Um das Taylorpolynom 6. Grades von $f$ zu bestimmen, solltest du mit dem Taylorpolynom 8. Grades des Kosinus beginnen. Das verbietet die Aufgabenstellung nicht. Ansonsten ist es tatsächlich nur einsetzen und ausrechnen.

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Achso okay, Dankeschön!

Ich werde einfach mal deine und meine Variante abschreiben. Gegebenenfalls werde ich meinen Professor dazu befragen.

Dankeschön!

Nur noch eine Frage:

Warum müsste ich das mit dem Taylorpolynom 8. Grades beginnen?

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Weil am Schluss der Rechnung durch $x^2$ dividiert wird. Etwas unmathematisch ausgedrückt gehen dadurch zwei Grade verloren und es bleibt ein Taylorpolynom 6. Grades übrig.

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Ich verstehe, Dankeschön!

Ich werde einmal beide Varianten aufschreiben.

Vielen Dank für deine Hilfe...

Aja und das bei der Potenz x¹⁰ davor ist eine Null?

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Das ist ein großes O und deutet an, dass Potenzen von $x$ mindestens zehnten Grades folgen. Für die Taylorpolynome $T_n(x)$ brauchst du das aber nicht.

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Verstehe.

Was schreibe ich dann anstatt dem O hin?

Bzw. wie würde deine Funktion mit welcher du kommentiert hast dann aussehen?

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Ich schrieb:$$f(x)=\frac12-\frac1{24}x^2+\frac1{720}x^4-\frac1{40320}x^6+O(x^8).$$Gefragt war aber nach dem 6. Taylorpolynom von $f$. Dazu lässt du $O(x^8)$ einfach weg:$$T_6(x)=\frac12-\frac1{24}x^2+\frac1{720}x^4-\frac1{40320}x^6.$$

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Okay, perfekt!

Vielen Dank für die Hilfe.

Schönen Sonntag noch!

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Das wünsche ich dir auch & viel Erfolg!

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Vielen Dank!