Abschätzungen Ellementarfunktionen/ Limes

Question

Momentan hänge ich am Sandwichkriterium/Einschnürungssatz.

Ich weiß wie er funktioniert etc. aber mir fallen die Funktionen zum abschätzen oftmals nicht ein.

Bsp: \( \lim\limits_{x\to\infty} \) ln(x)^{\( \frac{1}{x} \)} 

Also auch \( \lim\limits_{x\to\infty} \) x^{\( \frac{1}{x} \)} als ober "Schranke" wäre ich gekommen aber was nutz ich als untere Abschätzung?

Gibt es im internet dazu irgendwo eine Liste für Abschätzungen der Elementar Funktionen? weil ich konnte da nichts finden...

Hoffe jemand kann mir weiterhelfen mfg

Comments

Ich würde hier substituieren: t=ln(x). Dann ist x=exp(t). Und für die exp Funktion kannst Du mit der Reihe arbeiten.

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Uups, hatte die Aufgabe falsch gelesen.

Answer 1

\(ln(x)<x\Rightarrow (ln(x))^{\frac{1}{x}}<x^{\frac{1}{x}}\)

Comments

Ja soweit war ich ja schon aber was ist kleiner als ln(x) ?

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Was ist kleiner als ln(x) ?

Die 0 ist der kleinste natürliche Logarithmus.

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Ja soweit war ich ja schon aber was ist kleiner als ln(x) ?

Dann funktiuniert also das Sandwich Kriterium hier nicht?

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was ist kleiner als ln(x)

Für x > 3  ist 1 < ln x .

Answer 2

Warum nicht mit L'Hospital:

lnx/x -> (1/x)/x = 1/x^2 ->lim = 0 für x -> oo

PS:

Oder ist 1/x Exponent?

Comments

meinst du lnx/x als untere abschätzung?

oder meinst du ln(x)^1/x = ln(x)/x weil das wäre ja falsch. Auch hast du l´hopital glaube ich falsch angewendet.

Oder wie darf ich das verstehen?

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Ich las: ln(x)*1/x = ln(x)/x

Hier greift der L'Hospital.

x^(1/x) = e^(1/x*lnx)