Bestimme eine Basis von U, W etc.

Question

Aufgabe:

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(2) (8+2 Punkte) Es seien
\( U=\left\{x \in \mathbb{R}^{4}: x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=0\right\} \quad \text { und } \quad W=\left\{x \in \mathbb{R}^{4}: x_{1}=0, x_{2}=2 x_{3}\right\} \text {. } \)
(a) Bestimmen Sie eine Basis von \( U, W \) und \( U \cap W \).
(b) Prüfen Sie, ob \( U+W=\mathbb{R}^{4} \) gilt.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Alle Vektoren aus \(U\) erfüllen die Bedingung$$x_2-2x_3+x_4=0\quad\text{bzw.}\quad x_2=2x_3-x_4$$Wir schreiben sie alle auf$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\2x_3-x_4\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$$und erhalten drei Basisvektoren für \(U\).

Alle Vektoren aus \(V\) erfüllen die Bedingungen$$x_1=0\quad\text{und}\quad x_2=2x_3$$Wir schreiben sie wieder alle auf$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2x_3\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$und erhalten zwei Basisvektoren für \(V\).

Alle Vektoren aus \(U\cap V\) erfüllen die Bedinngungen:$$x_2=2x_3-x_4\quad\text{und}\quad x_1=0\;;\;x_2=2x_3$$Es muss \(x_4=0\) gelten, damit alle Gleichungen gelten.

Die Vektoren aus \(U\cap V\) schreiben wir wieder hin:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2x_3\\x_3\\0\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}$$und finden einem Basisvektor für alle Vektoren aus \(U\cap V\).

Es ist nicht \(U+W=\mathbb R^4\), denn weder in der Darstellung für \(U\) noch in der für \(V\) können wir die \(x_2\)-Koordinate frei wählen. So ist etwa der Vektor \((0;2;0;0)^T\in\mathbb R^4\) weder in \(U\) noch in \(V\) darstellbar.

Comments

Wir schreiben sie wieder alle auf$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2x_3\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$und erhalten zwei Basisvektoren für \(V\)

Wie bist du darauf gekommen?