Aufgabe:
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Aufgabe W31. Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x, y)=x y \). Bestimmen Sie alle Extrema von \( f \) auf das \( E=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}+x y-1 \leq 0\right\} \). Sind die Extrema auch lokale Maxima bzw. Minima?
Aufgabe W32. Es seien \( a, b>0 \) zwei reelle Zahlen. In die Ellipse \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \) ist ein Rechteck mit den zu den Achsen parallelen Seiten so zu legen, dass sein Umfang maximal wird. Bestimmen Sie dieses Rechteck und geben Sie die Koordinaten der Ecken des Rechtecks an. Verwenden Sie dazu die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.
Aufgabe W33. Es seien \( D_{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x^{2}-y<1\right\} \) und \( D_{2}=\{(x, y) \in \) \( \left.\mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 2-2 x, y \geq 0\right\} \)
1. Skizzieren Sie \( D_{1} \) und \( D_{2} \).
2. Bestimmen Sie den Flächeninhalt von \( D_{1} \) und \( D_{2} \).
Aufgabe W34. Berechnen Sie das folgende Doppelintgral
\( \iint_{E} x+y d x d y \)
über den Bereich \( E=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 0, x \leq 0\right\} \).
Aufgabe W35. Berechnen Sie das folgende Doppelintgral
\( \iint_{D} x^{2}+y^{2} d x d y \)
über den Bereich \( D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x^{2}+4 y^{2} \geq 1\right\} \).
Problem/Ansatz:
Mein Problem ist bei Aufgabe W34 und W35. Woher weiß ich denn was meine Grenzen sind?
Also was kann ich denn aus den Bedingungen herauslesen, da ich mal davon ausgehe, dass die mir die Ober und Untergrenze liefern...
