Berechnen Sie das folgende Doppelintegral.

Question

Guten Abend,
folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten. Ich habe zwar einen Doppelintegralrechner im Internet verwendet und komme auf die unten dargestellte Lösung, aber irgendwie fehlen mir die Zwischenschritte und somit ist mir die Lösung aus dem Internet nicht schlüssig genug. Kann mir bitte jemand helfen und eine Lösungsmöglichkeit mit Zwischenschritten mitteilen?


Berechnen Sie das Doppelintegral:

\( \int \limits_{y=1}^{3} \int \limits_{x=0}^{\sqrt{4-y}} x^{2} \cdot \sqrt{4-y} d x d y \)

Die Lösung aus dem Internet-Doppelintegralrechner sagt:

\( \int \limits_{1}^{3} \int \limits_{0}^{\sqrt{4-y}} x^{2} \sqrt{4-y} d x d y \)
\( \int \limits_{0}^{\sqrt{4-y}} x^{2} \sqrt{4-y} d x=\frac{(-y+4)^{\frac{3}{2}} \sqrt{4-y}}{3} \)
\( =\int \limits_{1}^{3}\left(\frac{(-y+4)^{\frac{3}{2}} \sqrt{4-y}}{3}\right) d y \)
\( \int \limits_{1}^{3}\left(\frac{(-y+4)^{\frac{3}{2}} \sqrt{4-y}}{3}\right) d y=\frac{26}{9} \)
\( =\frac{26}{9} \)

Vielen Dank!
Schöne Grüße
Vera

Answer 1

Aloha :)

Bei dem Integral hängen die Grenzen für die Integration über \(dx\) von \(y\) ab, konkret geht es um die obere Grenze für \(x\), nämlich \(\sqrt{4-y}\). Wir müssen daher zuerst über \(dx\) integrieren und dabei den Wert für \(y\) fest halten, also \(y\) wie eine Konstante behandeln. Nach dem Einsetzen der Integrationsgrenzen für \(x\) taucht dann im verbliebenen Integral über \(dy\) nur noch \(y\) als Variable auf, was wir schnell ausrechnen können:

$$I=\int\limits_{y=1}^3\int\limits_{x=0}^{\sqrt{4-y}}x^2\cdot\sqrt{4-y}\,dx\,dy=\int\limits_{y=1}^3\left[\frac{x^3}{3}\cdot\sqrt{4-y}\right]_{x=0}^{\sqrt{4-y}}dy=\int\limits_{y=1}^3\frac{(\sqrt{4-y})^4}{3}\,dy$$$$\phantom I=\int\limits_{y=1}^3\frac{(4-y)^2}{3}\,dy=\int\limits_{y=1}^3\frac{(y-4)^2}{3}\,dy=\left[\frac{(y-4)^3}{9}\right]_{y=1}^3=-\frac19+3=\frac{26}{9}$$