Uneigentliche Integral berechnen

Question

Ich verstehe nicht wie man das uneigentliche Integral berechnet und was diese bedeutet.

Zum Beispiel bei folgender Aufgabe:

a) \( \int \limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{4}} d x \)

Comments

Konnte jemand das mir mit dieser Aufgabe erklären?

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Berechne \(\displaystyle\int_1^t\frac1{x^4}\,\mathrm dx\) wie gewohnt in Abhängigkeit von \(t\). Anschließend bilde den Grenzwert für \(t\to\infty\).

Answer 1

\(\int_1^{\infty}x^{-4}dx=[-\frac{1}{3}x^{-3}]_1^{\infty}=-\frac{1}{3}{\infty}^{-3}+\frac{1}{3}1^{-3}=\frac{1}{3}\)

Comments

Das scheint mir äußerst fragwürdig zu sein.

Answer 2

Aloha :)

Setze zunächst eine endliche Obergrenze \(g\) an und lasse erst nach der Berechnung des Integrals diese Obergrenze gegen \(\infty\) laufen:$$\int\limits_1^\infty\frac{1}{x^4}\,dx=\lim\limits_{g\to\infty}\int\limits_1^g x^{-4}\,dx=\lim\limits_{g\to\infty}\left[\frac{x^{-3}}{-3}\right]_1^g=\lim\limits_{g\to\infty}\left[-\frac{1}{3x^3}\right]_1^g=\lim\limits_{g\to\infty}\left(-\frac{1}{3g^3}+\frac13\right)=\frac13$$