Extremwertaufgabe, Rechteck im Kreis soll Maximal werden!

Question

Aufgabe: Extremwertaufgabe, Rechteck im Kreis soll Maximal werden.

Aus einem zylindrischen Stamm mit Durchmesser D =20cm soll ein rechteckiger Balken herausgeschnitten werden. Berechnen Sie die Höhe h und die Breite b, damit das Flächenträgheitsmoment I = (1/12)*b*h³ maximal wird.

Problem/Ansatz:

Moin leute,

ich habe generell schwierigkeit bei Extremwertaufgaben.

Speziell bei dieser habe ich die Haupt und Nebenbedingung aufgestellt und komme nun leider nicht mehr weiter.

Hat jemand tipps für mich wie ich da weiter vorgehen muss.

Gerne auch vorrechen..

Vielen dank leute !!

Gruß

Frost

Text erkannt:

Aufgabe 3) $9 \quad \mathrm{Pk}_{\mathrm{kt}}$.)
$D=20 \mathrm{~cm}$
$I=\frac{1}{12} b \cdot h^{3}$ soll motimal werden
Losung:
Widerstand smoment: I $=\frac{1}{12} b \cdot b^{3} \quad H B \quad$ [cm]
Nebenbedinung: $h=\sqrt{(20)^{2}-b^{2}}=\sqrt{400-b^{2}}$
$=I(b)=\frac{1}{12} b \cdot h^{3}=\frac{1}{12} \cdot b \cdot\left(\sqrt{400-b^{2}}\right) \quad\left(h^{3}\right)$

Answer 1

Hallo,

ich habe generell schwierigkeit bei Extremwertaufgaben.

wo genau hast Du die Schwierigkeiten? In der Lösung hast Du einen simplen Einsetzungsfehler gemacht. Da Du dann aufgehört hast, vermute ich aber, dass Du auch mit dem Ableiten z.B. von Wurzeln ein Problem hast.

Nach dem Einsetzen der Nebenbedingunhg erhältst Du$$I(b) = \frac{1}{12} b \left(\sqrt{400-b^2}\right)^3$$Sei Dir bewußt, dass $$(\sqrt{a})^3 = a^{3/2}$$ist. Leitest Du dies nach $a$ ab, so multipliziere mit dem Exponenten und reduziere ihn anschließend um $1$$$\frac{\partial a^{3/2}}{\partial a} = \frac{3}{2} a^{3/2-1} = \frac{3}{2} a^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{a}$$und sollte $a$ noch von einer Variable - z.B. $x$  - abhängen, so greift die Kettenregel. Hier muss zusätzlich mit der Ableitung $a(x)$ nach $x$ - bzw. $a'(x)$ - multipliziert werden$$\frac{\partial a(x)^{3/2}}{\partial x} = \frac{3}{2}\sqrt{a(x)} \cdot a'(x)$$Für den gesamten Term brauchst Du dann noch die Produktregel$$\begin{aligned}I(b) &= \frac{1}{12} b \left(400-b^2\right)^{3/2} \\ \frac{\partial I}{\partial b} &= \frac{1}{12}\left( \left(400-b^2\right)^{3/2} + b \cdot \frac{3}{2}\left(400-b^2\right)^{1/2} \cdot (-2b) \right) \\ &= \frac{1}{12}\left( \left(400-b^2\right) + b \cdot \frac{3}{2} \cdot(-2b) \right)\left(400-b^2\right)^{1/2} \\ &= \frac{1}{12}\left( 400-b^2 - 3b^2 \right)\left(400-b^2\right)^{1/2} \\ &= \frac{1}{12}\left( 400-4b^2 \right)\left(400-b^2\right)^{1/2} \\ &\to 0\end{aligned}$$um einen Extremwert zu finden, muss die Ableitung gleich 0 gesetzt werden. Oben steht ein Produkt mit zwei Faktoren, die $b$ enthalten. Setzt man den zweiten Faktor zu 0, so wird $b=D$. Das macht keinen Sinn. Folglich bleibt der erste Faktor:$$\begin{aligned} 400 - 4b^2&= 0 \\ 400 &= 4b^2 \\ 100 &= b^2 \\ b&=10\end{aligned}$$die negative Lösung beim Wurzelziehen entfällt hier.

Du kannst Dir bei der Ableiterei einiges an Arbeit ersparen, wenn Du das Verfahren nach Lagrange kennst. Aus Haupt- und Nebenbedingung$$I=\frac{1}{12}bh^3 \to \max \quad \text{NB.:}\space b^2+h^2 = D^2$$stellt man die Lagrange-Funktion $\mathcal{L}$ auf$$\mathcal{L}(b,h,\lambda) = \frac{1}{12}bh^3 + \lambda(b^2+h^2-D^2)$$und leitet einmal nach $b$ und einmal nach $h$ ab$$\frac{\partial\mathcal{L}}{b} = \frac{1}{12}h^3 + 2b \lambda\to 0 \\ \frac{\partial\mathcal{L}}{h} = \frac{1}{4}bh^2 + 2h \lambda \to 0$$was jetzt weniger aufwendig ist, da ich die Nebenbedingung 'wurzelfrei' formuliert habe!

Wenn man nun die erste Gleichung mit $h$ und die zweite mit $b$ multipliziert und beide von einander abzieht, so dass der Term mit $\lambda$ raus fällt$$\begin{aligned} \implies \frac{1}{12}h^4 &= \frac{1}{4}b^2h^2 &&|\,\cdot \frac{12}{h^2}\\ h^2 &= 3b^2 \\ {\color{grey}h} &{\color{grey}= b\sqrt{3}} \end{aligned}$$dann kommt man sehr schnell zu $h^2=3b^2$, was man in die Nebenbedingung einsetzt. Und daraus folgt direkt $\implies b=D/2$.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte noch einmal.

Gruß Werner

Comments

Antwort um das Lagrange Verfahren erweitert.

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Hallo Werner,

vielen dank für die ausführliche Erklärung.

Ich konnte alles nachvollziehen.

Was ich meine mit schwierigkeiten bei Extremwertaufgaben, zu erkennen was genau die HB und NB ist.

Und speziell bei dieser AUfgabe hätte ich einfach, so wie du gezeigt hast die Wurzel ³ umschreiben müssen.

Vielen Dank

Gruß Frost

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Was ich meine mit schwierigkeiten bei Extremwertaufgaben, zu erkennen was genau die HB und NB ist.

Die Hauptbedingung ist das was optimiert (in diesem Fall maximiert) werden soll. Die Aufgabe besteht darin, ein möglichst großes Widerstandsmoment $I$ zu erreichen. Also ist Hauptbedingung alles, was hinter $$I = \dots$$ steht. Die Nebenbedingung schränkt die Variablen ein. Hier Höhe $h$ und Breite $b$. Diese Einschränkung hat i.A. die Form$$f(b,h)=0 \quad \text{hier:}\space b^2+h^2-D^2=0$$Ansonsten könnte man ja $b$ und/oder $h$ beliebig groß wählen, womit auch $I$ immer gößer werden würde.

Zur Illustration ein Applet:

Die Hauptbedingung ist hier ein Gebirge, wobei $b$ nach rechts und $h$ nach oben anwächst. Die Höhenlinien dieses 'Gebirges' habe ich lila eingezeichnet. Die Höhe des Gebirges gibt das Widerstandsmoment $I$ an. Nach links oben wird dieser Wert immer größer.

Die Nebenbedingung ist der rote Viertelkreis. D.h. die Lösung kann sich nur auf dieser roten Kurve befinden. Bestenfalls innerhalb des Viertelkreises ;-)

Das Verfahren nach Lagrange macht es sich zu Nutze, dass im Optimum die Richtung des Gradients der Nebenbedingung mit der Richtung des Gradienten der Hauptbedingung zusammen fällt. Graphisch heißt dass, das sich dort eine Höhenlinie und der Graph der Nebenbedingung berühren.

Diese maxmal erreichbare Höhenlinie liegt bei ca. $I \approx 4330$. Sie ist gestrichelt eingezeichnet.

Den Punkt auf dem Viertelkreis kannst Du mit der Maus verschieben.

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Vielen dank für die Erklärung.

Gruß Frost