Ist lim inf | an+1/an | >1 , so ist…

Question

Text erkannt:

Ist \( \liminf _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1 \), so ist \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) nicht absolut konvergent.

Aufgabe:

Answer 1

Um zu zeigen, dass die Summe der Reihe ( \sum \limits_k=1^\infty a_k ) nicht absolut konvergent ist, wenn der Grenzwert der infimum-Folge der Quotienten der Folgenglieder größer als 1 ist, können wir Folgendes zeigen:

Wir wissen, dass die Reihe absolut konvergent ist, wenn die Summe der absoluten Werte der Folgenglieder konvergiert. Das bedeutet, dass

[ \sum \limits_k=1^\infty |a_k| < \infty. ]

Wir betrachten nun die Folge der Quotienten der Folgenglieder:

[ b_k = \frac{|a_k+1|}{|a_k|} ]

Wir wissen, dass die Folge der Quotienten monoton fallend ist, da sie aus den absoluten Werten der Folgenglieder gebildet wird. Wir können also schreiben:

[ b₁ \ge b₂ \ge b₃ \ge \dotsb ]

Da der Grenzwert der infimum-Folge größer als 1 ist, gibt es eine natürliche Zahl $N$, sodass für alle $n \ge N$ gilt:

[ b_n \ge 1 + \epsilon ]

für ein $\epsilon > 0$.

Wir können nun zeigen, dass die Summe der absoluten Werte der Folgenglieder unbeschränkt ist. Dazu wählen wir $n \ge N$ und schreiben:

\begin{align*} \sum \limits_k=n^\infty |a_k| &= |a_n| \sum \limits_k=n^\infty b_k \ &\ge |a_n| \sum \limits_k=n^\infty (1+\epsilon) \ &= |a_n| \frac{1+\epsilon}{1-1-\epsilon} \ &= |a_n| \cdot \frac{1+\epsilon}{-\epsilon} \ &= -\frac{|a_n|}{\epsilon} \end{align*}

Da $n$ beliebig groß gewählt werden kann, ist die Summe der absoluten Werte der Folgenglieder unbeschränkt und somit nicht absolut konvergent.

Answer 2

meime antwort löschen