Aussagen zur Vektorfelder wahr oder falsch?

Question

Hallo :)

Ich weiß leider einfach nicht, wie ich diese Hausaufgabe lösen soll. Vielleicht kann mir jemand helfen. Die Aufgabe lautet:

Text erkannt:

Welche der folgenden Aussagen sind immer wahr bzw. im Allgemeinen falsch?
i) Sei $\vec{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld. $\vec{v}$ hat ein Potential, genau dann wenn rot $\vec{v}=\overrightarrow{0}$ gilt.
ii) Sei $G \subset \mathbb{R}^{3}$ offen. Ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld $\vec{v}: G \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ hat ein Vektorpotential, genau dann wenn div $\vec{v}=0$ gilt.
iii) Es gibt ein Vektorfeld $\vec{v}: G \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ mit $\vec{v} \neq \overrightarrow{0}, G \subset \mathbb{R}^{3}$, das sowohl ein Potenzial, als auch ein Vektorpotenzial besitzt.

Vielen Dank an Alle, die mir helfen können!

Answer 1

Aloha :)

zu 1) wahr... Merke: $\operatorname{rot}\operatorname{grad}(\cdots)=\vec 0$

zu 2) wahr... Merke: $\operatorname{div}\operatorname{rot}(\cdots)=0$

zu 3) falsch

Wenn $\vec v$ ein Potential $\varphi$ hat, gibt es eine Darstellung $\vec v=\operatorname{grad}(\phi)$.

Dann ist aber das Vektorpotential $\vec A=\operatorname{rot}(\vec v)=\vec0$.

Es gibt daher kein solches $\vec v\ne0$.