Wahrscheinlichkeit mithilfe einer geeigneten Approximation bestimmen.

Question

Aufgabe:

Ein fairer Würfel werde 6000 Mal geworfen. Approximieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die 6 mehr als 1100 Mal gewürfelt wird mit einer geeigneten Approximation. Sie dürfen auf die Stetigkeitskorrektur verzichten.

Problem/Ansatz:

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

Wir können die Normalapproximation verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die 6 mehr als 1100 Mal gewürfelt wird. Die Normalapproximation basiert auf der Annahme, dass die Anzahl der 6, die beim Würfeln geworfen werden, einer Normalverteilung folgt.

Der Erwartungswert der Anza?hl der 6, die beim Würfeln geworfen werden, ist 1000, da jeder Wurf eine gleiche Wahrscheinlichkeit hat, eine 6 zu ergeben und es insgesamt 6000 Würfe gibt. Der Standardabweichung der Anzahl der 6, die beim Würfeln geworfen werden, ist die Wurzel aus der Varianz, die 100 ist.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die 6 mehr als 1100 Mal gewürfelt wird, müssen wir den Wert der Standardnormalverteilung für 1100 berechnen. Dieser Wert ist 1, da 1100 über dem Erwartungswert von 1000 liegt und der Standardabweichung von 100 entspricht. Die Wahrscheinlichkeit, dass die 6 mehr als 1100 Mal gewürfelt wird, ist daher gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die Standardnormalverteilung größer als 1 ist, was etwa 16% entspricht.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die 6 weniger als 1100 Mal gewürfelt wird, ist daher 1 - 16% = 84%.

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ja, vielen Dank!

Answer 2

X - Anzahl der geworfenen 6er bei $n=6000$ Versuchen und einer Trefferwahrscheinlichkeit von $p=\frac 16$ (da der Würfel fair ist laut Angabe)

$\Rightarrow$ X binomialverteilt mit den Parametern $n=6000$ und $p=\frac 16$

Gesucht ist

$P(X> 1100)$

Laplace-Bedingung $np(1-p) > 9$ ist offensichtlich erfüllt, um X durch eine Normalverteilung zu approximieren:

$X \stackrel{approx.}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$ mit

$\mu = np = 1000$ und $\sigma^2 = np(1-p)=\frac{2500}{3}$

Damit gilt

$Z = \frac{Z-\mu}{\sigma} \stackrel{approx.}{\sim} N(0,1)$ und somit

$P(X> 1100) = P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}> \frac{1100-\mu}{\sigma}\right) = P\left(Z> \frac{1100-\mu}{\sigma}\right) \approx 0.03\%$

Approximative Berechnung: hier

Exakte Berechnung: hier

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vielen, vielen Dank :)

Answer 3

Ein fairer Würfel werde 6000 Mal geworfen. Approximieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die 6 mehr als 1100 Mal gewürfelt wird mit einer geeigneten Approximation. Sie dürfen auf die Stetigkeitskorrektur verzichten.

μ = n·p = 6000·1/6 = 1000

σ = √(n·p·(1 - p)) = √(6000·1/6·5/6) = 28.87

Jetzt mit der Normalverteilung nähern. Ich verwende die Stetigkeitskorrektur. Du solltest aber sehen, warum man hier auch auf die 0.5 verzichten kann.

P(X > 1100) = 1 - NORMAL((1100 + 0.5 - 1000)/28.87) = 0.0002497

Exakte Berechnung mit der Binomialverteilung

P(X > 1100) = 1 - 0.9997097463 = 0.0002903