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Leute, könnt ihr mir helfen, habe folgende Aufgabe...

Für eine Folge von binomialverteilten Zufallsvariablen BnB_{n} zum Parameter (n,pn)N×(0,1)(n, p_{n})\in \mathbb{N} × (0, 1) gelte E(Bn)λ\mathbb{E}(B_{n})\rightarrow λ. Zeigen Sie mit Hilfe der Stirlingschen
Approximation


e1/(12n+1)<n!2nπ(n/e)n<e1/(12n)(nN) \mathrm{e}^{1 /(12 n+1)}<\frac{n !}{\sqrt{2 n \pi}(n / \mathrm{e})^{n}}<\mathrm{e}^{1 /(12 n)}(n \in \mathbb{N})

dass


limnP(Bn=k)=λkeλk!\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(B_{n}=k\right)=\frac{\lambda^{k} \mathrm{e}^{-\lambda}}{k !}


Zudem soll ich das Ergebnis deuten. Hat da jemande eine Idee wie man das zeigt und deutet? Vielen Dank im Voraus!

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Von Variante:

Titel: Thema: Binomialverteilte Zufallsvariablen

Stichworte: binomialverteilung,zufallsvariable

Für eine Folge von binomialverteilten Zufallsvariablen BnB_{n} zum Parameter (n,pn)N×(0,1)(n, p_{n})\in \mathbb{N} × (0, 1) gelte E(Bn)λ\mathbb{E}(B_{n})\rightarrow λ. Zeigen Sie mit Hilfe der Stirlingschen
Approximation

e1/(12n+1)<n!2nπ(n/e)n<e1/(12n)(nN) \mathrm{e}^{1 /(12 n+1)}<\frac{n !}{\sqrt{2 n \pi}(n / \mathrm{e})^{n}}<\mathrm{e}^{1 /(12 n)}(n \in \mathbb{N})
dass

limnP(Bn=k)=λkeλk!\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(B_{n}=k\right)=\frac{\lambda^{k} \mathrm{e}^{-\lambda}}{k !}

Das Ergebnis soll gedeutet werden. weiß jemand, wie man das löst?

Welche Variante sieht korrekt(er) aus?

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