Question

Ab welcher Platznummer unterscheiden sich die Glieder der Folge um weniger als 0,001 vom Grenzwert g?

Text erkannt:

7. Ab welcher Platznummer \( n \) unterscheiden sich die Glieder der Folge \( \left(a_{n}\right) \) um weniger als 0,001 vom Grenzwert \( g \) ?
a) \( a_{n}=\frac{n-5}{n+13} ; \mathrm{g}=1 \)
b) \( a_{n}=9+(-1)^{n+1} \cdot \frac{4}{n^{2}} ; g=9 \)

Answer 1

a)

Löse die Ungleichung

\(\left| a_n-1\right|<\frac 1{1000}\). Also

$$\left| a_n-1\right| = \left| \frac{n-5}{n+13}-1\right| = \left| \frac{n+13-18}{n+13}-1\right| $$$$= \left| 1- \frac{18}{n+13}-1\right| = \frac{18}{n+13}\stackrel{!}{<}\frac 1{1000}$$

Nach n auflösen: \(n > 17987 \Rightarrow\) ab \(\boxed{n= 17988}\) ist die Bedingung erfüllt.

b)

Löse die Ungleichung

\(\left| a_n-9\right|<\frac 1{1000}\). Also
$$\left| a_n-9\right| = \left|9+(-1)^{n+1}\cdot \frac 4{n^2}-9\right| = \frac 4{n^2}\stackrel{!}{<}\frac 1{1000}$$ Nach n auflösen: \(n > 20\sqrt{10} \approx 63.25\Rightarrow\) ab \(\boxed{n= 64}\) ist die Bedingung erfüllt.