Stimmt das Ideal mit dem Ring ,,überein‘‘?

Question

Aufgabe:

Ich habe das Ideal I=(x² -4x+3 , 5)_R[x]

Ich soll nun zeigen, ob es mir R[x] übereinstimmt.

Doch was bedeutet in diesem Falle ,,übereinstimmt‘‘, ich kann in diesem Kontext nichts mit dem Wort anfangen.

Kann mir hier bitte jemand helfen?

Dankeschön:)

Answer 1

Die Frage ist, ob \(I=\mathbb{R}[x]\) ist.

Man sagt, dass zwei Dinge übereinstimmen,

wenn sie gleich sind.

Comments

Dankeschön für die Erklärung.

Also muss ich zeigen, dass I ganz R[X] erzeugt? Ist das so richtig?

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Ja. Das hast du richtig verstanden !

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Und dies ist der Fall, wenn der ggt von I gleich 1 beträgt?

In diesem Fall ist der ggt 1 und I erzeugt komplett R[x]?

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So ist es. Du kannst abkürzend auch folgende Aussage
verwenden, die eine Variante deiner Aussage über den ggT
darstellt:

Ist \(S\) ein komm. Ring und \(I\) ein Ideal in \(S\), so gilt:

\(I=S\iff 1\in I\).

Dies gilt auch für komm. Ringe, in denen nicht immer

ein ggT existiert.