Zeigen Sie, dass V := {a+bc ∈ R | a, b ∈ Q} einen Q-Untervektorraum von R bildt

Question

Aufgabe:

Sei \( c \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \) eine irrationale Zahl. Betrachten Sie die reellen Zahlen \( \mathbb{R} \) als \( \mathbb{Q} \)-Vektorraum.

(i) Zeigen Sie, dass \( V:=\{a+b c \in \mathbb{R} \mid a, b \in \mathbb{Q}\} \) einen \( \mathbb{Q} \)-Untervektorraum von \( \mathbb{R} \) bildt.

(ii) Zeigen Sie, dass \( b:=(1, c) \) eine Basis von \( V \) bildet.

(iii) Zeigen Sie, dass \( f: V \rightarrow V, f(a+b c)=a-b c \) eine wohldefinierte \( \mathbb{Q} \)-lineare Abbildung ist und bestimmen Sie die darstellende Matrix \( M_{b}^{b}(f) \).

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß,
was ein Unterraum, Basiswechselmatrix und lineare Abbildungen sind, habe aber noch große Probleme, mit so abstrakten Aufgaben. für die iii) habe ich eine Vermutung, da es ein Automorphismus ist, bin mir aber auch nicht sicher. Hilfe wäre toll. (welche auswirkung hat das R/Q?)

Answer 1

welche Auswirkung hat das R/Q?  ℝ\ℚ

Das sagt dir:  c ist irrational. Wäre es rational, dann wäre V=ℚ zwar auch ein

Unterraum von ℝ, aber 1 alleine schon eine Basis.

Für (i) musst du nur ein Unterraumkriterium prüfen, etwa das

https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum#Definition

Also so:

• 0=0+0*c also in V

• sind u und v in V, dann gilt: Es gibt a,b,x,y ∈ℚ mit

       u=a+b*c und v=x+y*c ==>  u+v =(a+x) + (b+y)*c

und weil mit a,b,x,y auch a+x und b+y ∈ℚ , ist also u+v∈V

• ähnlich wie Punkt 2.

(ii)  (1, c) ist ein Erzeugendensystem für V weil alle Elemente von

V in der Form a+bc geschrieben werden können, und das ist gleich 1*a+b*c

also eine Linearkomb. von 1 und c.

(1,c) sind lin. unabh. weil aus a*1+b*c = 0 immer a=b=0 folgt:

1. Fall: b=0 dann bleibt a*1=0 also auch a=0

2. Fall b≠0 . Dann folgt aus a/b +c = 0 ==>  c = -a/b Widerspruch zu c∈  ℝ\ℚ.

iii) eine wohldefinierte \( \mathbb{Q} \)-lineare Abbildung ist

Wegen ii) sind für jedes v∈V durch v=a+bc das a und b eindeutig bestimmt

und damit ist auch a-bc wieder ein eindeutig bestimmtes Element von V.

Für die Matrix musst du f(1) und f(c) berechnen und mit der Basis b darstellen.

f(1) =f(1*1+0*c)=1-0*c. Also ist die erste Spalte der Matrix gegeben:

\(   \begin{pmatrix} 1 & ? \\ 0 & ? \end{pmatrix}  \)

Und für die 2. Spalte berechne

f(c) = f( 0+1*c)= 0-1*c, also

\(  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}  \)

Comments

Hallo, nur mal so Fragen zum Verständnis,( frage bei iii) besonders relevant ):

In i) hast du das mit der 0 gemacht, um zu zeigen, dass die 0 in V liegt und somit nicht Leer ist.

Bei ii) machst du eine lin. Kombination, dürfte man theoretisch die 1 und das c genau anders herum schreiben? Linear unabhängig müssen sie sein, da es sonst keine Basis Bilden würde. der Widerspruch geht daher, dass durch einen Bruch keine irrationale Zahl entstehen kann.

iii) Ich kann also 1 als b1 und c als b2 sehen und das entspricht den spalten der Matrix woher weist du, was a und was b jeweils ist

---

In i) hast du das mit der 0 gemacht, um zu zeigen, dass die 0 in V liegt und somit nicht Leer ist.  ✓

Bei ii) machst du eine lin. Kombination, dürfte man theoretisch die 1 und das c genau anders herum schreiben?  Ja !

Linear unabhängig müssen sie sein, da es sonst keine Basis Bilden würde.✓ der Widerspruch geht daher, dass durch einen Bruch keine irrationale Zahl entstehen kann.  ✓

iii) Ich kann also 1 als b1 und c als b2 sehen und das entspricht den spalten der Matrix woher weist du, was a und was b jeweils ist.

Eine Basis ist ja immer geordnet.

Also sind in der Darstellung 1-0*c = 1*1 -0*c

Die roten Zahlen der Reihe nach (Basis ist (1,c) und nicht (c,1)

die Werte für die 1. Spalte.