Berechnung einer Fläche mittels Integral

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y>0, y^{2}<x<4-y^{2}\right\} \)

Text erkannt:

\( G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y>0, y^{2}<x<4-y^{2}\right\} \)

Text erkannt:

\( G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y>0, y^{2}<x<4-y^{2}\right\} \)

Wie geht man bei der Berechnung dieser Fläche G vor?

Answer 1

Zunächst skizziert man die Fläche, macht aus den Begrenzungsgleichungen Funktionsgleichungen, erkennt optimalerweise noch Symmetrien - und dann bildet man ein geeignetes Integral.

Answer 2

Wahrscheinlich hast du schon einmal die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnet.

Hier ist das genauso, nur hat der Aufgabensteller "gemeinerweise" x und y vertauscht.

Wir schauen uns also alles von der y-Achse aus an:

Die Funktionen, zwischen deren Graphen die Fläche liegt, sind schon gegeben:

\(g(y) = y^2,\: f(y) = 4-y^2\)

Das Integrationsintervall bzgl. y startet bei y=0. Wie weit geht es? So lange

\(y^2 < 4-y^2 \stackrel{y>0}{\Leftrightarrow} y=\sqrt 2\)

Also Fläche zwischen den beiden Graphen

$$\int_0^{\sqrt 2}( 4-2y^2 ) \,dy = \frac 83\sqrt 2\approx 3.77$$

Berechnung des Integrals ist hier.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir sollen die Größe der Fläche bestimmen, in der alle Punke \((x;y)\in G\) liegen.

1) Die Bedingung \(y^2<x<4-y^2\) legt das Intervall für die Integration über \(dx\) fest.

2) Aus \(y^2<x<4-y^2\) folgt insbesondere \(y^2<4-y^2\) bzw. \(2y^2<4\) oder \(|y|<\sqrt2\).

3) Wegen \(y>0\) ist \(0<y<\sqrt2\) das Intervall für die Integration über \(dy\).

Nach diesen Überlegungen formulieren wir das Integral für die Fläche:$$F=\int\limits_{x=y^2}^{4-y^2}\int\limits_{y=0}^{\sqrt2}dx\,dy$$

Da in den Grenzen für die Variable \(x\) die Variable \(y\) auftaucht, müssen wir zuerst über \(dx\) (bei festgehaltenem \(y\)) integrieren:$$F=\int\limits_{y=0}^{\sqrt2}\left[x\right]_{x=y^2}^{4-y^2}dy=\int\limits_{y=0}^{\sqrt2}\left[(4-y^2)-y^2\right]\,dy=\int\limits_{y=0}^{\sqrt2}\left(4-2y^2\right)dy$$$$\phantom F=\left[4y-\frac23y^3\right]_{y=0}^{\sqrt2}=4\sqrt2-\frac23(\sqrt2)^3=4\sqrt2-\frac43\sqrt2=\frac83\sqrt2$$