Also z.B. die z Komponente aus ∇xf gibt den Fluss entlang eines infintesmialen Rechtecks an, das parallel zur xy-Ebene ist. Analog geben die Kompenten den Fluss entlang den xz und yz Ebene an.
Dann schau dir doch mal an, wie die Normalenvektoren zu diesen Ebenen aussehen. Ein Normalenvektor zur \(xy\)-Ebene ist etwa der Vektor \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Skalarmultipliziert man diesen Vektor nun mit \(\nabla\times f\), so ergibt sich eben genau die \(z\)-Komponente, wie von dir beschrieben.
Es wird also auch in den von dir genannten Fällen das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor berechnet. Das liegt daran, dass der Fluss immer senkrecht zur Fläche gemessen wird und der Normalenvektor eben senkrecht auf dieser Fläche steht.
