Immer positives Ergebnis bei der Integration mit unterer kleinen Grenze und oberer größeren Grenze?

Question

Mich irritiert eine Kleinigkeit: Wie ich mal gehört habe ist das Integral negativ wenn unter das integralzeichen die größere zahl steht. Bei meiner gelösten Aufgabe habe ich jedoch ein negatives Ergebnis heraus, obwohl unten die kleinere zahl steht und oben die größere. folgende Gleichung habe ich integriert:

∫ (von 2bis 4) f(2x-x^3)dx = x^2-1/4*x^4

einsetzen: 42-1/4*44-(22-1/4*24)

Ausrechnen: 16-64-4+4= -48

Comments

Achtung: Du hast da in deiner Schreibeweise noch einen Fehler:

Statt ∫ (von 2bis 4) f(2x-x³)dx = x²-1/4*x⁴

Schreibe

f(x) = 2x -x^3

F(x) = ∫ (von 2bis 4) f(x)dx = ∫ (von 2bis 4) 2x-x³ dx = x²-1/4*x⁴ |₂⁴

Answer 1

Hi,

das hast Du falsch verstanden.

Das Ergebnis eines Integrals kann negativ sein, wenn sich die Fläche unter der x-Achse befindet.

Oder aber, wenn man oberhalb der x-Achse ist und die Integralgrenzen vertauscht. Was also vermutlich gemeint war, ist:

∫ _b^a f(x) dx = - ∫_a^b f(x) dx

 

Grüße

Answer 2

Sei F ( x ) die Stammfunktion von f ( x ) . Dann gilt:

_a∫^b f ( x ) = F ( b ) - F ( a )

Vertauscht man die Integrationsgrenzen, so erhält man:

_b∫^a f ( x ) = F ( a ) - F ( b ) = - ( F ( b ) - F ( a ) ) = - _a∫^b f ( x )

Das Vertauschen der Integrationsgrenzen entspricht also der Multiplikation des Integralwertes mit - 1 und führt somit zur Umkehrung des Vorzeichens: Ein positiver Integralwert wird durch das Vertauschen der Integrationsgrenzen negativ, ein negativer Integralwert hingegen wird dadurch positiv.