Guten Morgen!
Aufgabe: Ich soll hier die folgende Gleichung lösen und die Definitionsmenge bestimmen. Ich habe die Aufgabe lösen können, nur bei der Bestimmung der Definitionsmenge war ich mir unsicher. Ich hab hier mit mehreren Varianten die Definitionsmenge bestimmt, aber wie erkenne ich welche Variante die richtige ist? Ich hab ja auch z<=4, kann ich das so rechnen? Ich habe ja das Vorzeichen auf die andere Seite gebracht, daher hat sich das Relationszeichen ja geändert und ich bin auf z<=4 gekommen. Meine Frage ist: Darf ich das so machen? Wenn ja/nein, wieso? Welche Variante ist die richtige? Ich habe unten alle Varianten, die mir eingefallen sind, gerechnet.
Problem/Ansatz:
h) \( \sqrt{2-\sqrt{x}}=\sqrt{x} \)
Definitionsmenge:
\( \begin{array}{l} 2-\sqrt{z} \geqslant 0 \\ -\sqrt{z} \geqslant-2 \\ \sqrt{z} \leqslant+2 |^{2} \\ z \leqslant 4 \Rightarrow(-\infty, 4] \end{array} \)
oder:
\( \begin{array}{l} 2-\sqrt{z} \geqslant 0 \\ -\sqrt{z} \geqslant-2 | ^{2} \\ z \geqslant 4 \Rightarrow D=[4, \infty) \end{array} \)
oder:
\( \begin{array}{l} 2-\sqrt{2}>01^{2} \\ 4-4 \sqrt{z}+z>0 \\ -4 \sqrt{z}>-z-41^{2} \\ 16 z>z^{2}+8 z+16 \\ -z^{2}+16 z-8 z-16>0 \\ -z^{2}+8 z-16>0 \\ z^{2}-8 z+16>0 \\ (z-4)^{2}-16+16>0 \\ (z-4)^{2}>0 \quad |^{2} \\ z-4>0 \\ z \geq 4 \quad \Rightarrow D=[4, \infty) \end{array} \)
Rechnung:
\( \begin{array}{l} \sqrt{2-\sqrt{z}}=\sqrt{z} 1^{2} \\ 2-\sqrt{z}=z \\ -\sqrt{z}=z-21^{2} \\ z=z^{2}-4 z+4 \\ z^{2}-5 z+4=0 \\ \left(z-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}+\frac{16}{4}=0 \end{array} \)
\( \left(z-\frac{5}{2}\right)^{2}=\left.\frac{9}{4}\right|^{2} \)
\( z-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} \)
1. Fall: \( x \geqslant 0 \)
\( z-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow z=\frac{8}{2}-4 \)
2. Fall: \( x<0 \)
\( -\left(z-\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{2} \)
\( z-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2} \)
\( z=1 \)
Probe \( z=4 \)
\( \sqrt{2-\sqrt{4}}=\sqrt{4} \Leftrightarrow \sqrt{2-2} \neq 2 \) र
\( z=1 \)
\( \sqrt{2-\sqrt{1}}=\sqrt{1} \)
1 \( =\sqrt{1} \) =1
L= \( \{1\} \)
