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Das Taylorpolnom vom Grad \(n\) einer Funktion \(f(x)\) um den Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet:$$\small f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f''(x_0)\cdot\frac{(x-x_0)^2}{2}+f'''(x_0)\cdot\frac{(x-x_0)^3}{3!}+\cdots+f^{(n)}(x_0)\cdot\frac{(x-x_0)^n}{n!}$$
Wie müssen also zuerst ein paar Ableitungen bestimmen. Dabei hiltt die Produtkregel:$$f(x)=e^x\cos x\implies f(0)=1$$$$f'(x)=e^x\cos x-e^x\sin x=e^x(\cos x-\sin x)\implies f'(0)=1$$$$f''(x)=e^x(\cos x-\sin x)+e^x(-\sin x-\cos x)=-2e^x\sin x\implies f''(0)=0$$$$f'''(x)=-2e^x\sin x-2e^x\cos x=-2e^x(\sin x+\cos x)\implies f'''(0)=-2$$Mit \(x_0=0\) setzen wir alles in die Taylor-Formel ein:$$f(x)\approx1+1\cdot x+0\cdot\frac{x^2}{2}-2\cdot\frac{x^3}{3!}\implies \pink{f(x)\approx1+x-\frac{x^3}{3}}$$
Zur Fehlerabschätzung gibt es die Restgliedformel von Lagrange:$$R_n(x_0)=\left|f^{(n+1)}(\xi)\cdot\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\right|$$Das ist fast identisch mit dem nächstfolgenden Glied im Taylorpolynom. Der Unterschied liegt darin, dass das Argument in der Ableitung nicht \(x_0\), sondern \(\xi\) ist. Dieses \(\xi\) ist aus den möglichen Werte für \(x\) so zu wählen, dass \(f^{(n+1)}(\xi)\) maximal wird.
Wir sollen zeigen, dass die Abweiung im Intervall \(x,\xi\in\left[-\frac{1}{100}\big|\frac{1}{100}\right]\) kleiner als \(10^{-8}\) ist.
Wir bestimmen die 4-te Ableitung:$$f''''(x)=-2e^x(\sin x+\cos x)-2e^x(\cos x-\sin x)=-4e^x\cos x$$um das Restglied wie folgt abschätzen zu können:$$R_n(0)=\left|4e^\xi\cos\xi\cdot\frac{x^4}{24}\right|=\frac16\left|e^\xi\cos\xi\cdot x^4\right|\stackrel{|\cos\xi|\le1}{\le}\frac16\left|e^\xi\cdot x^4\right|\stackrel{e^\xi<2}{<}\frac{x^4}{3}$$$$\phantom{R_n(0)}\stackrel{|x|\le\frac{1}{100}}{\le}\frac{\left(\frac{1}{100}\right)^4}{3}=\frac13\cdot10^{-8}<10^{-8}$$
