Umformung mit ln / Beweise das a1,a2,a3 > 0

Question

Aufgabe:

Beweise, dass für a1, a2, a3 > 0 

$ln(\frac{a_1+a_2+a_3}{3}) \geq \frac{ln (a_1) + ln(a_2) + ln(a_3)}{3}$

gilt.

Problem/Ansatz:

Komme immer bis zur dieser Umformung

ln(a₁+a₂+a₃)³ ≥ ln(9a₁a₂a₃)

höre aber dann auf weil es zu kompliziert wird. (Setzte es ab da mit e hoch)

Gibt es einen schlaueren Weg diese Aufgabe zu lösen. Oder muss ich mich da durch kämpfen?

Comments

Vielleicht hilft die AM-GM-Ungleichung $\displaystyle\;\frac{a_1+a_2+a_3}3\ge\sqrt[3\,]{a_1{\cdot}a_2{\cdot}a_3}\;$ weiter.

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$\ln t$ ist konkav und die Behauptung folgt dann direkt aus der Jensenschen Ungleichung.

Oder eben $e^{...}$ auf die Ungleichung anwenden und dann AM-GM benutzen.

Answer 1

$ln(\frac{a_1+a_2+a_3}{3}) \geq \frac{ln (a_1) + ln(a_2) + ln(a_3)}{3} |•3$

$3•ln(\frac{a_1+a_2+a_3}{3}) ≥ ln (a_1•a_2•a_3)$

$ln(\frac{(a_1+a_2+a_3)^3}{3^3}) ≥ ln (a_1•a_2•a_3)| e$

$\frac{(a_1+a_2+a_3)^3}{27}≥ a_1•a_2•a_3$

$(a_1+a_2+a_3)^3≥ 27•a_1•a_2•a_3$

Comments

Ich beginn ja dann (a₁+a₂+a₃)³ aufzulösen, dann die 27a₁a₂a₃ rüber zu packen. Hab ich dann nicht einen Riesen großen Term welcher dann > 0. Ist man dann fertig?

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Bei der Auflösung von (a₁+a₂+a₃)³ kommt auch was mit a₁*a₂*a_3.

Nach dem "auf die linke Seite bringen" kannst du das noch verrechnen. Damit müsste der Beweis erbracht sein.