Es seien a1,a2,a3,c E R, a1 ungleich 0:

Question

da ich, wie in einem anderen Thema, eine komplette Blockade habe freue ich mich über jegliche Lösungsansätze (Lösung natürlich gern gesehen,aber selbstverständlich kein Muss.)
Es seien a₁ , a₂ , a₃, c ∈ ℝ, a₁ ≠ 0, und 
L={(x₁ x₂ x₃) ∈ ℝ³ |  a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ = c}.
Das ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bestehend aus nur einer Gleichung.
a) (Parameterdarstellung der Ebene L) Bestimmen Sie v, w₁ , w₂ ∈ ℝ³ so dass 
L={v + λ₁w₁ + λ₂w₂ |  λ₁ , λ₂ ∈  ℝ}.
b) (Parallelität) Ferner seien b₁ , b₂ , b₃, d ∈ ℝ und Μ ⊂ ℝ³ die Lösungsmenge der linearen Gleichung b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ = d. Charakterisieren Sie den Fall, dass die Schnittmenge L∩M leer ist, durch Bedingungen für die gegebene Koeffizienten (zwei Gleichungen, eine Ungleichung).

Answer 1

Es seien a₁ , a₂ , a₃, c ∈ ℝ, a₁ ≠ 0, und 
L={(x₁ x₂ x₃) ∈ ℝ³ |  a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ = c}.
Das ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bestehend aus nur einer Gleichung.
a) (Parameterdarstellung der Ebene L) Bestimmen Sie v, w₁ , w₂ ∈ ℝ³ so dass 
L={v + λ₁w₁ + λ₂w₂ |  λ₁ , λ₂ ∈  ℝ}.
b) (Parallelität) Ferner seien b₁ , b₂ , b₃, d ∈ ℝ und Μ ⊂ ℝ³ die Lösungsmenge
der linearen Gleichung b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ = d. Charakterisieren Sie den Fall, dass die Schnittmenge L∩M leer ist, durch Bedingungen für die gegebene Koeffizienten (zwei Gleichungen, eine Ungleichung).  |  λ₁ , λ₂ ∈  ℝ}.

zu a)

Einen Punkt aus L bekommst du, indem du für x1,x2,x3 Werte findest, bei denen die Gleichung
stimmt, also etwa   v= (     c/a1  ; 0   ; 0)  und weil a1 nicht Null ist, geht das.
Die w1,w2 kannst du so wählen, dass sie orthogonal zum Vektor mit den
Komponenten a1;a2;a3 sind, also z.B.   w1=(a2; -a1 ; 0) und (a3; 0 ; -a1)
wenn du jetzt den Term v + λ₁w₁ + λ₂w₂      bildest und in die gegebene Gleichung einsetzt,
wirst du sehen, dass es stimmt.

zu b) Der Vektoren mit den Komponenten  ( a1;a2;a3)   (b₁ , b₂ , b₃)  sind die Normalenvektoren
der beiden Ebenen. Damit die Ebenen parallel sind müssen diese Normalenvektoren linear
 abhängig sein,  d.h. es gibt ein x aus IR mit x*(b1;b2;b3) = (a1;a2;a3). Außerdem muss sichergestellt sein,
dass die Ebenen nicht gleich sind, das wären sie, wenn außerdem x*d = c wäre.
Also heißen die Bedingungen :   Es gibt ein x aus IR mit
                              x*b1=a1 und x*b2=a2 und x*b3=a3 und x*d ungleich c
Das sind jetzt zwar 3 Gleichungen und eine Ungleichung, aber ich glaube, es stimmt.