Wenn \(f_X(x)\) eine Dichte ist, dann ist die zugehörige Verteilungsfunktion
\(F_X(x) = \int_{-\infty}^xf_X(t)\; dt\)
Achtung:
(b) ist keine Dichtefunktion, da
\(3\int_1^4 e^{-3x}\;dx \neq 1\)
Vermutlich sollte für (b) das Intervall \((0,\infty)\) sein.
Daher rechne ich nur für (a) durch:
Die Dichte "lebt" nur auf \((1,4)\). Also ist nur \(x\in (1,4)\) interessant:
\(F_X(x) = \int_{-\infty}^xf_X(t)\; dt = \frac 13\int_{1}^x \; dt = \frac{x-1}{3}\)
Damit ergibt ich die folgende Verteilungsfunktion:
\(F_X(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 0 & x\leq1 \\ \frac{x-1}3 & 1<x<4 \\ 1 & x\geq 4 \end{array}\right.\)
Damit folgt:
\(P(0<X\leq 2) =F_X(2) - F_X(0) = F_X(2) - F_X(1) = P(1<X\leq 2) = \frac 13\)
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