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Aufgabe:

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Text erkannt:

0 8.3.20 Gegeben sind die folgenden Dichtefunktionen:
a) fx(x)={13 fu¨1<x<40 sonst  f_{x}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3} & \text { für } 1<x<4 \\ 0 & \text { sonst }\end{array}\right.
b) fX(x)={3e3x fu¨1<x<40 sonst  f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 e^{-3 x} & \text { für } 1<x<4 \\ 0 & \text { sonst }\end{array}\right.
Bestimmen sie die Verteilungsfunktionen sowie P(0<X2) \mathbf{P}(0<X \leq 2) und P(1<X2) \mathbf{P}(1<X \leq 2) .
Anmerkung: Auf den Index X X in der Bezeichnungsweise für Dichte-, Wahrscheinlichkeits- bzw. Verteilungsfunktionen kann, falls Irrtümer ausgeschlossen sind, verzichtet werden. Man schreibt dann f(x),f(xi) f(x), f\left(x_{i}\right) bzw. F(x) F(x) .


Problem/Ansatz:

Wie wurde diese Aufgabe gelöst?

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Wenn fX(x)f_X(x) eine Dichte ist, dann ist die zugehörige Verteilungsfunktion

FX(x)=xfX(t)  dtF_X(x) = \int_{-\infty}^xf_X(t)\; dt

Achtung:

(b) ist keine Dichtefunktion, da

314e3x  dx13\int_1^4 e^{-3x}\;dx \neq 1

Vermutlich sollte für (b) das Intervall (0,)(0,\infty) sein.


Daher rechne ich nur für (a) durch:

Die Dichte "lebt" nur auf (1,4)(1,4). Also ist nur x(1,4)x\in (1,4) interessant:

FX(x)=xfX(t)  dt=131x  dt=x13F_X(x) = \int_{-\infty}^xf_X(t)\; dt = \frac 13\int_{1}^x \; dt = \frac{x-1}{3}

Damit ergibt ich die folgende Verteilungsfunktion:

FX(x)={0x1x131<x<41x4F_X(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 0 & x\leq1 \\ \frac{x-1}3 & 1<x<4 \\ 1 & x\geq 4 \end{array}\right.

Damit folgt:

P(0<X2)=FX(2)FX(0)=FX(2)FX(1)=P(1<X2)=13P(0<X\leq 2) =F_X(2) - F_X(0) = F_X(2) - F_X(1) = P(1<X\leq 2) = \frac 13



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