Zeigen Sie, dass die Relation ≤ eine Teilordnung auf M definiert.

Question

Aufgabe:

Es sei V ein Vektorraum und M die Menge aller linear unabhängigen Teilmengen von V. Für zwei linear unabhängige Teilmengen S, S' ⊂ V setze man S ≤ S' ⇔ S ⊂ S'.

Zeigen Sie, dass die Relation ≤ eine Teilordnung auf M definiert.

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst, dass ich Reflexivität, Anti-Symmetrie und Transitivität zeigen muss, aber ist nicht bewusst wie.

Answer 1

Reflexivität:  Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst ( Das ⊂ heißt doch wohl

Teilemenge und wird nicht von ⊆ unterschieden.

Also gilt für jede lin. Teilmenge S in V         S⊂S also auch S≤S

Anti-Symmetrie: Ist bei Teilmengen immer gegeben S⊂S' und S'⊂S ==>   S=S'

Transitivität S⊂S' und S'⊂S''  ==>  S⊂S''  Auch das hat mit dem "lin. unabh."

nichts zu tun, also S≤S' und S'≤S''  ==>  S≤S''