Berechnen Sie den ML-Schätzer für den Erwartungswert

Question

Aufgabe:

Eine Anlage füllt in großen Mengen $500 \mathrm{~g}$ Zuckertüten ab. Es ist bekannt, das die Zufallsvariable $X$ „Füllgewicht" normalverteilt ist. Nach einer kleinen Reparatur wird das Füllgewicht von $500 \mathrm{~g}$ auf einer Skala eingestellt. Der Techniker will das mittlere Füllgewicht sicherheitshalber noch einmal überprüfen. Er wählt 10 Packungen zufällig aus und bestimmt ihr Gewicht: 497 g, 502 g, 505 g, 499 g, 496 g, 500 g, 502 g, 506 g, 506 g, 498 g. Berechnen Sie den ML-Schätzer für den Erwartungswert. Berechnen Sie ferner zwei Schätzer für die Varianz: Sowohl den ML-Schätzer als auch den erwartungstreuen Schätzer.

Lösung:

Die Zufallsvariable ist annähernd normalverteilt. Damit ist der ML-Schätzer für den Erwartungswert durch den Stichprobenmittelwert gegeben:

$\bar{x}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=\frac{1}{10}(497+\cdots+498)=501,1$

Für den ML-Schätzer der Varianz gilt:

$s_{M L}^{2}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\frac{1}{10} \sum \limits_{i=1}^{10}\left(x_{i}-501,1\right)^{2}=12,29 \Rightarrow s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{12,29}=3,506 .$

Für den erwartungstreuen Schätzer ist durch $n-1$ statt durch $n$ zu teilen:

$\hat{s}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\frac{1}{9} \sum \limits_{i=1}^{10}\left(x_{i}-501,1\right)^{2}=13,65 \Rightarrow s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{13,65}=3,695 \text {. }$

Problem/Ansatz:

Woher weiß man, ob etwas annähernd Normalverteilt ist? Muss man beim ML Schätzer was anders machen wenn es nicht annähernd normalverteilt ist ?

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht oder das was in der Aufgabe steht?

Answer 1

Woher weiß man, ob etwas annähernd Normalverteilt ist?

Wenn man lesen kann:

Eine Anlage füllt in großen Mengen $500 \mathrm{~g}$ Zuckertüten ab. Es ist bekannt, das die Zufallsvariable $X$ „Füllgewicht" normalverteilt ist.

Comments

Kann man das irgendwie prüfen, wenn es nicht im Text steht? Gab es nicht was mit der Regel 30>n?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz

Answer 2

(a) Entweder ist die Information vorgegeben, dass die Stichprobe annähernd normalverteilt ist oder man muss einen Test machen ob die Stichprobe normalverteilt ist. Mögliche Tests sind der Chi-Quadrat-Test oder der Kolmogoroff-Smirnow-Test

(b) Der Maximum-Likelihood Schätzer hängt von der Verteilungsfunktion ab. Insofern muss man bei vorliegen einer anderen Verteilung den Schätzer neu berechnen.