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Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:



Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z2+1=j z^{2}+1=j .
Dokumentieren Sie den Rechenweg im Detail !
Skizzieren Sie alle Lösungen der Gleichung als Zeiger in der Gauß'schen Zahlenebene, so dass alle wesentlichen Eigenschaften erkennbar sind.


Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

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Habt Ihr die Polarkoordinaten Darstellung für komplexe Zahlen besprochen? Oder erwartest Du von Eurem Unterricht her eher eine Lösung mit Real- und Imaginärteil?

2 Antworten

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z2+1=j z^{2}+1=j <=>  z2=1+j z^{2}=-1+j #

Sei z=a+bj eine Lösung, dann gilt:

(a+bj)2=1+j(a+bj)^{2}=-1+j ==>    a2b2+2abj=1+ja^2 -b^2 +2abj=-1+j

==>      a2b2=1a^2 -b^2 =-1 und   \(ab=1) BEACHTE Kommentar!

Unterscheide die Fälle:

1.  b=0. Dann wird # zu  a= -1+j . Nicht möglich, a∈ℝ

2. b≠0 Dann wird   ab=1ab=1 zu    a=1ba=\frac{1}{b}

und damit     a2b2=1a^2 -b^2 =-1 zu     (1b)2b2=1(\frac{1}{b})^2 -b^2 =-1

                     ==>    1b4=b21 -b^4 =-b^2

                    ==>    0=b4b2+1454 0 = b^4-b^2+\frac{1}{4} -\frac{5}{4}

                ==>      (b212)2=54 (b^2-\frac{1}{2})^2 =\frac{5}{4}

      ==>   b212=52b^2-\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{5}}{2} oder b212=52b^2-\frac{1}{2} =-\frac{\sqrt{5}}{2}

 ==>         b2=1+52b^2 =\frac{1+\sqrt{5}}{2} oder b2=152b^2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}

Die zweite Lösung ist negativ, also bleibt nur

b=1+52b =\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} oder     b=1+52b=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}        

und mit a=1ba=\frac{1}{b} bekommst du die zugehörigen Werte für a.

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Ich glaube es muss bei (2.) 2ab=1 2ab = 1 heißen. Das zieht sich dann durch die ganze Rechnung durch.

Danke, das werde ich aber nicht korrigieren, mache nur einen Hinweis.

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Sei z=reiφ z = re^{i \varphi} dann muss die Gleichung r2e2iφ=1+i=2ei(34π+2kπ) r^2 e^{2i\varphi} = -1 + i = \sqrt{2} \cdot e^{ i \cdot \left( \frac{3}{4} \pi + 2 k \pi \right) } gelöst werden, für k=0,1 k = 0,1

D.h. r=24 r = \sqrt[4]{2} und φ=38π+kπ \varphi = \frac{3}{8} \pi + k \pi damit ergibt sich

z=24ei(38π+kπ) z = \sqrt[4]{2} \cdot e^{ i \left( \frac{3}{8} \pi + k \pi \right)} k=0,1 k = 0, 1

oder auch z=a+ib z = a + ib mit

b=±1+22 b = \pm \sqrt{ \frac{1+\sqrt{2} }{2}}   und a=12b a = \frac{1}{2b}

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