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Aufgabe:

Berechnung einer kubischen Funktion mit Hilfe von Tangenten

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Mathefreunde,

Wer kann diese Aufgabe l├Âsen ?

Von einer kubischen Funktion f(x) sind folgende Werte bekannt:

blob.png

das Problem ist hierbei, das zur Berechnung leider ein Wert fehlt.

Zur Berechnung n├Âtig sind die Tangenten T1(x), T2(x), T3(x) und T4(x) an die kubische Funktion f(x).

Die Ber├╝hrpunkte sind T1(x1) = f(x1)

                                    T2(x2) = f(x2)

                                    T3(x3) = f(x3)

                                    T4(x4) = f(x4)

Zu Hilfe genommen wird eine weitere kubische Funktion g(x), von der leider ├╝berhaupt keine Werte bekannt sind.

Es sollen desweiteren folgende Bedingungen gelten.

Tangente T1(0) = g(x1)

Tangente T2(0) = g(x2)

Tangente T3(0) = g(x3)

Tangente T4(0) = g(x4)

T1(0) + T2(0) + T3(0) = T4(0)

f(0) = g(0)

Ich hoffe sehr, dass alles verst├Ąndlich ist.

Es w├Ąre sehr nett und und w├Ąre sehr dankbar, wenn jemand eine Zeichung machen k├Ânnte / w├╝rde.

Vielen, vielen lieben Dank im voraus.

mit freundlichen Gr├╝├čen von der Weser

Martin


Text erkannt:

kubische Funktion \( f(x) \)
\begin{tabular}{|rrrr|}
\hline\( x 1 \) & \( x 2 \) & \( x 3 \) & \( x 4 \) \\
\hline 1,20 & 2,10 & 2,30 & 5,60 \\
\hline\( f(x 1) \) & \( f(x 2) \) & \( f(x 3) \) & \( f(x 4) \) \\
\hline \( 2.088 \) & \( 1.083,6 \) & 696,1333 & \\
\hline
\end{tabular}

von

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Beste Antwort

Hallo Martin,

die hier gesuchte kubische Funktion ist ein alter Bekannter aus Deiner Frage vom 31.Dez 22. Dort ist es die Stammfunktion \(F(x)\), die da lautet:$$f\left(x\right)=\frac{200}{3}x^{3}-1120x^{2}+2022x+1159,2$$

Zu Hilfe genommen wird eine weitere kubische Funktion g(x), von der leider ├╝berhaupt keine Werte bekannt sind.

Da von \(g(x)\) nichts bekannt ist, was nicht aus \(f(x)\) folgt, so ist das auch keine Hilfe. Dies h├Ąttest Du weg lassen k├Ânnen.

Es w├Ąre sehr nett und und w├Ąre sehr dankbar, wenn jemand eine Zeichung machen k├Ânnte / w├╝rde.

Die Zeichnung hast Du schon bekommen! Sie findet sich in meiner Antwort auf die oben erw├Ąhnte Frage. Ich habe sie nochmal unter dem Aspekt der neuen Frage erstellt. Der Graph von \(f(x)\) ist der blaue:


Du kannst den Funktionswert \(f(x_4)\) mit der Maus auf der gestrichelten Vertkalen verschieben. Den korrekten Wert hat man dann gefunden, wenn oben der Achsenabschnitt der roten Tangente an \(f(x_4)\) (die rote Zahl) mit der Summe der Achsenabschnitte der gr├╝nen Tangenten (die gr├╝ne Zahl) ├╝berein stimmt. Der am besten passende Wert f├╝r \(f(x_4)\) liegt bei$$f(x_4) \approx -10933,067$$

Die L├Âsung von w├Ąchter stimmt ├╝brigens mit diesem \(f(x)\) gut ├╝berein - auch wenn es nicht so aussieht. Ein wesentlicher Unterschied r├╝hrt daher, dass w├Ąchter wohl aus Versehen \(f(x_1)=2008\) statt \(f(x_1)=2088\) f├╝r die Berechnung verwendet hat.

Es w├Ąre nett (und hilfreich!), wenn Du uns mitteilst wie Du zu diesen Aufgaben kommst, bzw. was das am Ende werden soll, wenn es fertig ist. Wo kommen z.B. die Koordinaten der ersten drei Punkte her?


Nachtrag:

die Beziehung zwischen f(x) und g(x) ist: (ja, irgendwie vertraut):
im kubischen     Parameter         Faktor     -2
"  quadratischen "                          "              -1
"    linearen         "                          "              0        (hast Du schon aufgeschrieben)
"    konstanten   "                          "              1        Gleichheit bei C
(diesesmal ist es aber wirklich eine ARITHMETISCHE Folge)

Ja - diesen Zusammenhang gibt es tats├Ąchlich und er gilt nicht nur f├╝r kubische Polymnome sondern f├╝r alle Polynome ab 1.Ordnung..

Satz (von Martin)

W├Ąhlt man bei einem beliebigen Polynom \(f(x)\) der Ordnung \(n\) $$f(x)= \sum\limits_{k=0}^{n} c_{fk} x^{k}$$\(n+1\) paarweise verschiedener St├╝tzstellen und legt dort die Tangenten an das Polynom an, dann bilden die Achsenabschnittswerte dieser Tangenten zusammen mit der zugeh├Ârigen X-Koordinate der St├╝tzstelle \(n+1\) Punkte. Bestimmt man das Polynom \(g(x)\) \(n\)'ter Ordung durch diese Punkte so ergeben sich die Koeffizienten \(c_{gk}\) von \(g(x)\) aus den Koeffizienten \(c_{fk}\) von \(f(x)\) mittels Multiplikation mit einem Element \(d_k\) aus einer arithmetischen Reihe - mit:$$g(x)= \sum\limits_{k=0}^{n}c_{gk}x^{k} \quad c_{gk} = c_{fk} \cdot d_k \quad d_k = 1- k$$

Zur Demonstration:

Der Graph von \(f(x)\) ist blau und der von \(g(x)\) ist rot dargestellt. Man kann oben im Bild den schwarzen Punkt in der Mitte seitlich auf \(f(x)\) verschieben. Verschiebt man den Achsenabschnittspunkt der zugeh├Ârigen Tangente auf die aktuelle X-Koordinate so trifft man steht auf den Graphen von \(g(x)\). Das geht auch dann, wenn man \(f(x)\) durch vertikales Verschieben der roten Punkte ver├Ąndert.

Beweis:

Eiin Polynom \(f(x)\) und seine Ableitung \(f'(x)\) ist bekannterweise$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}c_{fk}x^{k} \\ f'(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}k\,c_{fk}x^{k-1}$$Die Tangente \(t(x)\) im Punkt \(x_0\) und ihr Achsenabschnitt \(t(0)\) ist$$t(x)=p'(x_0)(x-x_{0}) + p(x_{0}) \implies t_{0}(0)=p(x_{0})-x_jp'(x_{0})$$dies soll der Funktionswert von \(g(x_0)\) sein. Also:$$g(x_0)= p(x_{0})-x_{0}p'(x_{0})$$bzw.:$$\begin{aligned} g(x) &= p(x)-xp'(x)\\ &= \sum\limits_{k=0}^{n}c_{fk}x^{k} - x\sum\limits_{k=1}^{n}k\,c_{fk}x^{k-1} \\ &= \sum\limits_{k=0}^{n}c_{fk}x^{k} - \sum\limits_{k=1}^{n}k\,c_{fk}x^{k} \\ &= c_{f0} + \sum\limits_{k=1}^{n}\left(c_{fk}- k\,c_{fk}\right)x^{k}\\ &= c_{f0} + \sum\limits_{k=1}^{n}c_{ck}\left(1-k\right)x^{k}\\ &= \sum\limits_{k=0}^{n}c_{ck}\underbrace{\left(1-k\right)}_{=d_k}x^{k}\\ \implies c_{gk} &= (1-k)c_{fk} \end{aligned}$$herzlichen Gl├╝ckwunsch ;-)

Gru├č Werner

von 46 k

Yep, hatte 2 Tippfehler (von y3 die Nachkommastellen abgeschnitten) und mit korrigierten Werten komm ich auch auf Deine Funktion ( y3 als Bruch 15.tel )

Vielleicht soll ja diese obsolete Funktion g(x) auch bestimmt werden?

Hallo w├Ąchter,

ja, bitte g(x) und f(x) gegen├╝ber stellen und den Unterschied in den Parameter ansehen.

Hallo lieber Werner,

ja, es ist eine ERWEITERUNG der alten Bekannten, aber NUR deshalb, damit hier zus├Ątzlich noch g(x) mit einbezogen werden konnte und nur deshalb hatte ich die Aufgabe anders formuliert, (Bitte unbedingt noch g(x) berechnen. Hatte ich vorher nur deshalb nicht hingeschrieben, damit es nicht wieder zu un├╝bersichtlich wird. Sonst h├Ątte ich ja schreiben m├╝ssen: Berechnen Sie eine HILFS-Funktion und das w├Ąre wohl wieder verwirrend gewesen. Warum Hilfesfunktion ..., aber so sieht man, dass diese Hilfsfunktion g(x) zur Berechnung von f(x) ben├Âtigt wird. - jedenfalls von mir ! - )

Bitte jetzt noch g(x) und f(x) gegen├╝ber stellen und den Unterschied in den einzelnen Parametern vergleichen. Was f├Ąllt in der Beziehung / Struktur zwischen beiden Funktionen auf ?

Es w├Ąre sehr sch├Ân, wenn in die Zeichnung auch noch g(x) aufgenommen werden k├Ânnte. Kann man die Zeichnung noch nachtr├Ąglich erweitern ?

Wo die Werte herkommen, wollte ich ja in den anderen offenen Fragen erkl├Ąren, was mir aber bislang leider nicht gelungen ist. Bitte deshalb erst einmal zur├╝ckstellen.

Ich mache morgen eine neue Frage mit einer Fl├Ąchenberechnung auf, wo ebenfalls wieder alte Bekannte erscheinen werden, (ist ja alles ein "Gesamtpaket" mit vielen Teilberechnungen.)

Stichwort: experimentelle Mathematik mit vielen Strukturen

Ich hoffe, dass es erst einmal so okay ist. (Ich will mich in meinen Erl├Ąuterungen etwas zur├╝ckhalten. Auch hatte ich mir diesesmal bei der Formulierung besonders viel M├╝he gegeben. Sch├Ân, dass hier diese umge├Ąnderte Aufgabe diesesmal ohne R├╝ckfragen "durchgelaufen" ist.)

Vielen, vielen Dank,

Gute Nacht (23:59 Uhr)

Martin

Bitte unbedingt noch g(x) berechnen. Hatte ich vorher nur deshalb nicht hingeschrieben, damit es nicht wieder zu un├╝bersichtlich wird

Oh - meine G├╝te! Es w├Ąre einfacher gewesen, wenn Du geschrieben h├Ąttest, dass das \(f(x)\) das \(F(x)\) aus Deiner ersten Frage ist, und nun das \(g(x)\) gesucht wird.

Aber egal - eine kubische Funktion durch vier Punkte ist ein Standardproblem:$$g\left(x\right)=-\frac{400}{3}x^{3}+1120x^{2}+1159.2$$sieht auch irgendwie vertraut aus! Der lineare Teil ist \(=0\).

... aber so sieht man, dass diese Hilfsfunktion g(x) zur Berechnung von f(x) ben├Âtigt wird.

ist es nicht eher umgekehrt?

Es w├Ąre sehr sch├Ân, wenn in die Zeichnung auch noch g(x) aufgenommen werden k├Ânnte. Kann man die Zeichnung noch nachtr├Ąglich erweitern ?

Bittesch├Ân: (\(g(x)\) ist der rote Graph)


das kannst Du auch selbst machen (wenn Dir die Funktion bekannt ist). Dr├╝cke dazu auf das Emblem "edit graph on desmos" rechts unten im Bild. Dann ├Âffnet sich die Desmos-App und Du kannst links im Script Funktionen hinzu f├╝gen.

Hast Du ├╝brigens mal probiert den Wert von \(f(x_4=5.6)\) im Bild mit der Maus zu verschieben? \(g(x)\) wird dabei leider nicht aktualisiert; das musste ich au├čerhalb von Desmos berechnen.


Auch hatte ich mir diesesmal bei der Formulierung besonders viel M├╝he gegeben. Sch├Ân, dass hier diese umge├Ąnderte Aufgabe diesesmal ohne R├╝ckfragen "durchgelaufen" ist

Ja ja - es ist nicht einfach, Fragen zu stellen. In einer gut gestellten Frage liegt schon ein betr├Ąchtlicher Teil der L├Âsung!

Hallo lieber Werner-Salomon,

die Beziehung zwischen f(x) und g(x) ist: (ja, irgendwie vertraut):

im kubischen       Parameter           Faktor      -2

"   quadratischen "                          "               -1

"    linearen          "                          "               0        (hast Du schon aufgeschrieben)

"    konstanten     "                          "               1        Gleichheit bei C

(diesesmal ist es aber wirklich eine ARITHMETISCHE Folge)

... aber so sieht man, dass diese Hilfsfunktion g(x) zur Berechnung von f(x) ben├Âtigt wird.

ANTWORT: Gedankenspiel: m├╝ssen die Werte von f(x1), f(x2) und f(x3) vorab vorliegen ? oder k├Ânnen diese auch anderweitig erst berechnet werden, also eine Integration ohne das bisher bekannte ? Verfahren. Dann w├Ąre g(x) zuerst notwendig.

Zusammenstellung von bisherigen Erkenntnissen

a) "normalerweise" ? wird die Tangente berechnet, wenn die Funktion dazu vorliegt. In diesem Fall wird die Tangente aber VORAB als Gerade mit 2 ! Ber├╝hrpunkten berechnet.

1x von f(x) her (wie bekannt)

UND

1x von g(x) her immer an der Stelle 0.

Beziehung von f(x) und g(x) wie oben mit der arithmetischen Folge beschrieben.

b) "alte Bekannte"

1.) in dieser Aufgabe wurde f(x4) berechnet

= Wendestelle = rechter Rand des Intervalls f├╝r die noch kommende Fl├Ąchenberechnung UND

2.) in einer vorherigen Berechnung wurde eine quadratische Funktion integriert und C berechnet.

C = f(0) = linker Rand des Intervalls ..............

Verschiedene Berechnungen 1.) und 2,) ergeben die gleiche Funktion f(x).

Wir haben also jetzt f├╝r diese "alte Bekannte" insgesamt 5 St├╝tzstellen vorliegen.

Vorteil ? (mehr St├╝tzstellen machen ein Ergebnis genauer. Ist hier aber von mir nicht zu erkennen !? = ungel├Âst !)

Ja, ich hatte selbser schon versucht, eine ganz neue andere Zeichnung anzufertigen, was aber leider nicht funktioniert hatte. Vielen Dank f├╝r die Anleitung. Ich werde es mir noch anschauen.

Vielen Dank f├╝r die neue Zeichnung, aber ich dachte, dass man darauf den Zusammenhang von f(x) und g(x) "auf Anhieb" sehen k├Ânnte.

Ich gebe BESTE ANTWORT und mache dann heute Abend eine neue Frage auf.

Vielen, vielen Dank lieber Werner

Tsch├╝├č

Martin

die Beziehung zwischen f(x) und g(x) ist: (ja, irgendwie vertraut):

Ja - und da gibt es eine Regel, die ich oben in der Antwort in einem Nachtrag (s.o.) formuliert und bewiesen habe!

Dem was Du noch schreibst ├╝ber "Integration" und "5.St├╝tzstelle" und "Intervall" kann ich nicht folgen. Da musst Du noch ein wenig an Deiner mathematischen Beschreibungssprache arbeiten ;-)


Wir haben also jetzt f├╝r diese "alte Bekannte" insgesamt 5 St├╝tzstellen vorliegen.
Vorteil ? (mehr St├╝tzstellen machen ein Ergebnis genauer ...

Oh nein - ganz genau und eindeutig ist es nur bei vier St├╝tzstellen f├╝r eine kubische Funktion - bzw. allgemein \(n+1\) St├╝tzstellen f├╝r ein Polynom \(n\)'ter Ordnung.


Vielen Dank f├╝r die neue Zeichnung, aber ich dachte, dass man darauf den Zusammenhang von f(x) und g(x) "auf Anhieb" sehen k├Ânnte.

man sieht den Zusammenhang. Daf├╝r habe ich extra die gelben gestrichelten Geraden hinzu gef├╝gt. Besser vielleicht in dem zweiten Bild, was mehr Interaktion bietet

Hallo lieber Werner,

Ich bin jetzt sehr ├╝berrascht. Gab es DIESEN Satz wirklich noch nicht ? Das w├Ąre ja unglaublich, weil es doch in den letzten vielen Jahrhunderten Tausende von Mathematikern gab !

ich meinte die 5 St├╝tzstellen

0                 x1=1,2                     x2=2,1                     x3=2,3                Extremstelle 5,6

okay, es sind aber nur 4 Rechtecke ("Streifen") n├Âtig.

Ich bin etwas verwirrt, weil oben stand, das meine Frage von gestern bez├╝glich der Fl├Ąchenberechnung gel├Âscht ! wurde, ich diese aber trotzdem noch sehen ! kann.

Ich glaube, dass "normalerweise" ? eine Funktion vorliegt und danach die Fl├Ąche berechnet wird, Ich hatte aber als Fl├Ąche eine Konstante berechnet und angegeben, um aufzuzeigen, dass damit u.a. wieder die alte Bekannte Funktion berechnet wird.

Diese Frage kann doch eigentlich noch nicht vorhanden sein oder liegt es an meiner ├ťberschrift ?

Ich habe diese Aufgabe heute aber noch einmal abge├Ąndert. Gestern war die Konstante eine Fl├Ąche zwischen g(0) und g(5,6). Heute habe ich "Streifen gebastelt".

Nach dieser Berechnung wollte ich mit den kubischen Funktionen erst einmal aufh├Âren, obwohl ich (unabh├Ąngig von diesem Projekt) schon bei der Integration zu einer quartischen Funktion eine Besonderheit bei C gesehen habe. Aber das alles sp├Ąter einmal.

Ich wollte danach mit meiner n├Ąchsten Berechnung zum Anfang zur├╝ckgehen. (Fl├Ąchenberechnung -statt f├╝r kubische Funktion- dann lineare Funktion). Da w├╝rdest Du dann auch wieder einen Zusammenhang sehen, womit wir schon gerechnet haben, was aber "versteckt" war / ist.

Fl├Ąchenberechnungen stehen bei diesem Projekt am Anfang und am Ende.

Ich freue mich SEHR auf unsere weitere Zusammenarbeit.

Vielen, vielen lieben Dank im voraus und nochmals die Bitte um Entschuldigung f├╝r mein schlechtes "Mathedeutsch".

Gute Nacht lieber Werner

Martin H├╝mer, Wesertal (Lippoldsberg)

Hallo lieber Werner,

a.) Deine Frage, woher die Werte von f(x) kommen.

(Ich schreibe es hier, damit nicht Mathefreunde, die meine neue kommende Frage lesen, nicht verwirrt werden, weil sie den Zusammenhang nicht kennen.)

1.) (so ziemlich am Anfang) steht eine Fl├Ąchenberechnung mit dort nur 3 St├╝tzstellen, die umgeformt zu einer Geradengleichung f├╝hren. (Frage folgt).

(Hier in der letzten Aufgabe waren es ja mehrere St├╝tzstellen f├╝r eine h├Âherwertige = kubische Funktion.)

2.) mit dieser Geraden wird u.a. die Iteration ausgef├╝hrt (Frage wurde bislang noch zur├╝ckgestellt.)

3.) Auf die vorherige Berechnung aufbauend wird eine Grenze ermittelt (= paralle Kurven) (Frage wurde bislang ebenfalls zur├╝ckgestellt und enth├Ąlt Deine 3 Zeichungen, die noch nicht zusammengef├╝hrt sind.)

4.) Diese 2 Kurven werden im gleichen Abstand zueinander auf der y-Achse verschoben, bis f(1,2)+f(2,1)+f(2,3)=f(1,2+2,1+2,3) entsteht (Bedingung hatte ich in meiner allerersten Frage schon ber├╝cksichtigt).

5.) Diese 2 Kurven werden unterschiedlich behandelt. F├╝r die UNTERE Kurve hatte ich noch keine Berechnung beschrieben, die OBERE Kurve ist die "alte Bekannte" f(x), die in mehreren bereits beschriebenen Berechnungen enthalten ist = ebenfalls mehrere Herleitungen wie bei der UNTEREN Kurve.

6.) dann noch integriert und C berechnet (Frage ist bereits erledigt).

Dann haben wir ja die Werte f├╝r f(x) und "ich" habe dann f(1,2) und f(2,1) und f(2,3) berechnet. (bzw. ein Internetrechner hat es f├╝r mich erledigt)

ABER was mich besonders besch├Ąftigt und worauf ich KEINE Antwort kenne (falls es ├╝berhaupt Eine gibt), ist:

b.) eine Tangente besteht ja aus einem linearen Teil und einem konstanten Teil = b1,b2,b3 und b4.

b1,b2,b3 und b4 haben wir aber zu einer anderen kubischen Funktion berechnet, sodass nach Substitution dieser Konstenten b1, b2, b3 und b4 und Zusammenfassung aller Terme eine neue Funktion entsteht. Dabei ist ja nicht mehr ersichtlich, dass es sich urspr├╝nglich um Tangenten handelte. Was ist das f├╝r eine Funktion ? Hat sie eine Bedeutung ? Kann man da noch etwas herausfinden ? (eventuell eine neue Frage ?) oder ist sie nur "gemauschelte Spielerei" ?

Vielen, vielen Dank im voraus

Martin H├╝mer, Wesertal

noch ein Nachtrag:

ich hatte heute Abend in meinem Gleichungssystem einen (unlogischen) "Platzhalter" durch den richtigen Term ausgetauscht und es funktioniert sensationell. Sonst kam immer eine Fehlermeldung wie "kein eindeutiges Ergebnis" (war ebenfalls meine Vermutung, wenn man sich diese Teilaufgabe ansieht) oder "Gleichungssystem nicht l├Âsbar".

Ich hatte aber gestern statt nur einer Fl├Ąche mehrere Rechtecke "aufgenommen" und jetzt funktioniert es. Ist wahrscheinlich irgendwie wieder voneinander abh├Ąngig.

Es ist sehr sch├Ân, aber auch interessant, das Du bei den Aufgaben auf anderen Rechenwegen (als meinen Gleichungssystem) ebenfalls zur identischen L├Âsung kommst und in ALLEN Aufgaben eine Best├Ątigung der Richtigkeit.

Die Fl├Ąchenberechnung (wie bereits mitgeteilt) und die sich daran anschlie├čende Anfangsberechnung werde ich vorerst "nach hinter verschieben" und Dir diese neue Berechnung davor zuerst mitteilen. Ich muss sie aber erst ausformulieren, damit sie als Teilberechnung ebenfalls l├Âsbar ist.

nur soviel vorab:

von der "alten Bekannten" f(x) = OBERE kubische Kurve verl├Ąuft eine weitere Tangente durch die UNTERE kubische Kurve.

Beide Funktionen f(x) und g(x) haben ein identisches C und das b4 von der Tangente.

Beide Funktionen haben weiterhin nat├╝rlich an der Stelle 5,6 jeweils einen Wendepunkt.

Vielen, vielen Dank, lieber Werner, im voraus

Gute Nacht

Martin H├╝mer, Wesertal

Hallo liebe Mathefreunde,

die oben von mir selbst gestellte Frage habe ich heute mittag beantwortet:

Eine Tangente hat nur einen Ber├╝hrpunkt mit einer kubischen Funktion f(x).

Jetzt habe ich sowohl den linearen als auch den konstanten Teil dieser Tangente ebenfalls durch 2 weitere kubische Funktionen ersetzt (Substitution).

Diese neue kubische Funktion gleichgesetzt mit f(x) hat jetzt 2 ! Ber├╝hrpunkte.

Zusammenfassung;

lineare Funktion (Tangente) = 1 Ber├╝hrpunkt mit f(x)

kubische Funktion (hier fehlender Name daf├╝r hinschreiben -entsprechend wie vorher bei Tangente- ?) = 2 Ber├╝hrpunkte mit f(x).

2 kubische Funktionen mit 2 Ber├╝hrpunkten.png

Hallo liebe Mathefreunde,

ich weiss nicht, was mir geogebra in der vorherigen Zeichung "gemalt" hat. Es wurden 2 Punkte gekennzeichnet (die Eingabe dazu werde ich noch einmal ├╝berpr├╝fen).

ABER: LEIDER habe ich erst DANACH diese Gleichung ausrechnen lassen und bekam dann ├╝berraschenderweise die Fehlermeldung "... allgemeing├╝ltig". Erst danach hatte ich diese Gleichung ├╝berpr├╝ft und leider dann erst gesehen, dass sich beide Seiten gegeneinander aufheben.

Ich bitte vielmals um Entschuldigung f├╝r DIESEN, meinen Fehler.

Die ANDEREN Zeichungen sind aber ALLE korrekt, wie Ihr selber feststellen konntet.

Vielen, vielen Dank.

Gute Nacht

Tsch├╝├č

Martin H├╝mer

Hallo Martin,

Ich bin jetzt sehr ├╝berrascht. Gab es DIESEN Satz wirklich noch nicht ?

Na ja - ich kannte das nicht. Es ist jetzt aber auch so, dass es sich um ein relativ simple Umwandlung (math.: Abbildung) eines Polynoms in ein anderes handelt. Du kannst Dir da unendlich viele Abbildungen ausdenken. Und jede Abbildung hat irgendwelche Eigenschaften, die irgendwie interessant aussehen k├Ânnen.

Oder in K├╝rze: kann sein, dass es diesen Satz noch nicht gab, aber es ist auch nichts besonderes.

ABER was mich besonders besch├Ąftigt und worauf ich KEINE Antwort kenne (falls es ├╝berhaupt Eine gibt), ist:

b.) eine Tangente besteht ja aus einem linearen Teil und einem konstanten Teil = b1,b2,b3 und b4.

b1,b2,b3 und b4 haben wir aber zu einer anderen kubischen Funktion berechnet, sodass nach Substitution dieser Konstenten b1, b2, b3 und b4 und Zusammenfassung aller Terme eine neue Funktion entsteht. Dabei ist ja nicht mehr ersichtlich, dass es sich urspr├╝nglich um Tangenten handelte. Was ist das f├╝r eine Funktion ?

Ich denke Deine Frage bezieht sich auf die oben erw├Ąhnte Abbildung. Und wenn ich den ersten Teil Deiner Frage richtig verstehe, dann fragst Du ob diese Abbildung umkehrbar ist. Das ist sie nicht, weil das lineare Glied der Eingangsfunktion entf├Ąllt, das kann also nach der Multiplikation mit \(0\) nicht r├╝ckw├Ąrts wieder hergestellt werden, zumindest nicht eindeutig.

Hat sie eine Bedeutung ? Kann man da noch etwas herausfinden ? (eventuell eine neue Frage ?) oder ist sie nur "gemauschelte Spielerei" ?

es ist zun├Ąchst mal "nur" eine Berechnung. Eine Berechnung im Allgemeinen hat aus sich heraus nie eine "Bedeutung".

Gru├č Werner

Hallo lieber Werner,

1.) meine VORHERIGE Zeichnung war - wie bereits geschrieben - leider falsch. Schade, dass ich diese nicht selber l├Âschen kann.

2.) meine Frage u.a. war: ... Dabei ist ja nicht mehr ersichtlich, dass es sich urspr├╝nglich um Tangenten handelte. Was ist das f├╝r eine Funktion ?

Das habe ich mir mittlerweile selber beantworten k├Ânnen. Wenn man jeweils beide Teile - den linearen Teil sowie b - der Tangente jeweils mit einem Polynom substituiert, heben sich nach Gleichsetzung mit der Stammfunktion BEIDE Seiten gegeneinander auf.

3.) noch eine Anmerkung zu diesem Verfahren, was ich selber in der Zwischenzeit noch herausgefunden habe und wof├╝r ich eine Zeichnung angefertigt habe.

Stammfunktion f(x) und Hilfsfunktion g(x).png f(x) ist hier wieder die Stammfunktion.

Wenn man an einer x-beliebigen Stelle ein Lot zwischen g(x) und f(x) zieht,

dann von g(x) eine waagerechte Linie bis zur Stelle 0, ist die Hypotenuse dieses Dreiecks gleichzeitig die Tangente von f(x).

Ich habe daraufhin gestern einmal unter google nach den Stichw├Ârtern Tangente und Hypotenuse gesucht. Mir wurde ein umfangreicher mehrseitiger Text angezeigt: Einleitung in die Differential- und Integralrechnung - in Buchform und allerdings leider in alter "unleserlicher" Schrift -. Dieser ist von einem Carl Snell, 1846, Prof. in Jena geschrieben worden. Ich vermute anhand einiger Stichw├Ârter aus diesem Text, das ER dieses Verfahren erstmalig herausgefunden hat.

ABER:

Warum ist dieser Herr Snell eigentlich unbekannt und warum wird in keinem meiner Matheb├╝cher (Matheduden, math. Formelsammlung, Math. von Bertelsmann, usw.) sowie auf math. Internetseiten etwas davon erw├Ąhnt ? (hatte ich ja dort erst sp├Ąter gefunden, nachdem ich bewusst danach gegooglt hatte.)

Es ist ja keine von unendlich vielen speziellen Folgeberechnungen, f├╝r die in Buchform kein Platz w├Ąre, sondern eigentlich um ein (Grund)Verfahren, was als Stichwort / Zusatz bei Tangente beschrieben werden k├Ânnte / m├╝sste.

Auch hier wieder vielen, vielen Dank f├╝r Deine Bem├╝hungen.

Tsch├╝├č

Martin H├╝mer

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Hm,

aweng too much?

Ein Versuch - ohne Gew├Ąhr (Tippfehler korrigiert)

wenn man die 3 Punkte und die Tangentengleichungen mit T1(0) + T2(0) + T3(0) = T4(0) rausnimmt

 \(f_o(x) \, :=  \, a_3 \; x^{3} + a_2 \; x^{2} + a_1 \; x + a_0\)

\(T_i(u) \, :=  \, f_o'\left(u \right) \; \left(x - u \right) + f_o\left(u \right)\)


\( \left(\begin{array}{r}a_0 + 1.2 \; a_1 + 1.44 \; a_2 + 1.728 \; a_3\\a_0 + 2.1 \; a_1 + 4.41 \; a_2 + 9.261 \; a_3\\a_0 + 2.3 \; a_1 + 5.29 \; a_2 + 12.167 \; a_3\\3 \; a_0 - 11.14 \; a_2 - 46.312 \; a_3\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}2088\\1083.6\\696.133\\a_0 - 31.36 \; a_2 - 351.232 \; a_3\\\end{array}\right)\)


damit komm ich auf

\(f(x) \, :=  \, \frac{200}{3} \; x^{3} - 1120 \; x^{2} + 2022 \; x + \frac{5796}{5}\)


z.B: \(T_1(x) \, :=  \, -378 \; x + \frac{12708}{5}\), ....

T1(X1)== f(X1)

wie und ob weitere Vorgaben dazu passen hab ich nicht ├╝berpr├╝ft...

von 19 k

Hallo w├Ąchter,

f(x) ist richtig berechnet.

vielen Dank,

Hallo lul,

Bitte die ANDERE Frage NICHT l├Âschen. Sie ist von mir erdacht worden und KANN eigentlich nicht schon existieren. Es geht um eine FL├äCHE.

Die ANDERE Frage hat einen ANDEREN Text (nur die ERSTEN W├Ârter sind identisch).

Bitte einmal ├╝berpr├╝fen.

Vielen, vielen Dank im voraus.

mit freundlichen Gr├╝├čen von der Weser

Martin

Falls die Frage doch weiter bestehen bleibt (vielen Dank) habe ich heute noch eine neue Fl├Ąchenberechnung durchgef├╝hrt.

Berechnet wird jetzt nicht mehr (wie oben angegeben) die Fl├Ąche zwischen g(0) und g(5,6) im Intervall 0 und 5,6

sondern:

Addition folgender Rechtecke "Streifen"

  g(0) im Intervall 0 und 1,2

+ g(1,2) im Intervall 1,2 und 2,1

+ g(2,1) im Intervall 2,1 und 2,3

+ g(2,3) im Intervall 2,3 und 5,6

ergibt im rechten Ausdruck -31912,03

g(5,6) < g(2,3)

g(2,3) < g(2,1)

g(2,1) < g(1,2)

g(1,2) < g(0)

Vielen, vielen Dank im voraus

Martin

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