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Aufgabe:

Bei diesen Aufgaben soll man untersuchen ob reihen Konvergenz oder absolut Konvergenz sind

Problem/

 \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right) \)

Ist diese alternierende Reihe mit Leibnitzkriterium zu berechnen? Wenn, ja: ich komme auf kein Ergebnis.


 \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n) !}{(3 n)^{n} n !} \)

Diese Folge habe ich versucht mit dem Quotientenkriterium zu berechnen.

Komme aber hier nicht weiter:


\( \frac{(2 n) !}{(3 n)^{n} n !}=\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{\frac{(2(n+1) !}{\left(3(n+1)^{n+1}(n+1) !\right.}}{\frac{(2 n) !}{(3 n)^{n} n !}}=\frac{(2(n+1)) ! \cdot(3 n)^{n} n !}{\left.(3(n+1))^{n+1}(n+1) ! \cdot(2 n)!\right)} \)
\( =\frac{n !}{(n+1) !} \cdot \frac{(3 n)^{n}}{(3(n+1))^{n+1}} \cdot \frac{2(n+1) !}{(2 n) !}=n+1 \cdot\left(\frac{3 n}{3 n+1}\right)^{n} \cdot \frac{1}{3 n+1} \cdot 2 n+1 \)



 \( \quad \sum \limits_{n=1}^{\infty} n^{\alpha} \alpha^{n} \quad(\alpha \geq 0) \)

Bei dieser Reihe habe ich überhaupt keine Ahnung mit welchem Kriterium ich anfangen soll

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Beste Antwort

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right) \) divergiert,

denn die Reihenglieder bilden keine Nullfolge:

\({{2n}\choose {n}}\geq 1\). Damit ist das notwendige Kriterium

für die Konvergenz der Reihe nicht erfüllt.

Das Quotientenkriterium für die zweite Reihe liefert

\(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|= \cdots = \frac{1}{3}\cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{n+2}}\cdot n^n=\)

\(=\frac{1}{3}\cdot \frac{(2+2/n)(2+1/n)}{(1+1/n)^2}\cdot \frac{1}{(1+1/n)^n}\rightarrow \frac{4}{3e}<1\).

Daher konvergiert die Reihe (sogar absolut).

Avatar von 29 k

Vielen dank, habe mittlerweile die aufgabe lösen können. Komme aber bei den anderen aufgaben nicht weiter

Habe meine Antwort ergänzt!

Vielen dank!

Haben Sie einen Ansatz für die letzte Reihe?

Für \(\alpha=0\) ist die Reihe trivialerweise konvergent.

Für \(\alpha>0\) liefert das Quotientenkriterium

\(\frac{(n+1)^{\alpha}\alpha^{n+1}}{n^{\alpha}\alpha^n}=(1+1/n)^{\alpha}\cdot \alpha\rightarrow ...\)

Jetzt schon den Grenzwert betrachten? :/   der nächste schritt wäre dann das 1/n gegen 0 konvergiert, die 1 auf die 1. aber was macht man mit der hochzahl  ?

\(x\mapsto x^{\alpha}\) ist eine stetige Funktion und genügt

daher dem Folgenkriterium für Stetigkeit.

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\( \left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right) \)

ist doch keine Nullfolge. Also nix mit Leibniz.

Avatar von 287 k 🚀

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