Ist diese alternierende Reihe mit Leibnitzkriterium zu berechnen?

Question

Aufgabe:

Bei diesen Aufgaben soll man untersuchen ob reihen Konvergenz oder absolut Konvergenz sind

Problem/

 $\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)$

Ist diese alternierende Reihe mit Leibnitzkriterium zu berechnen? Wenn, ja: ich komme auf kein Ergebnis.

 $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n) !}{(3 n)^{n} n !}$

Diese Folge habe ich versucht mit dem Quotientenkriterium zu berechnen.

Komme aber hier nicht weiter:

$\frac{(2 n) !}{(3 n)^{n} n !}=\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{\frac{(2(n+1) !}{\left(3(n+1)^{n+1}(n+1) !\right.}}{\frac{(2 n) !}{(3 n)^{n} n !}}=\frac{(2(n+1)) ! \cdot(3 n)^{n} n !}{\left.(3(n+1))^{n+1}(n+1) ! \cdot(2 n)!\right)}$
$=\frac{n !}{(n+1) !} \cdot \frac{(3 n)^{n}}{(3(n+1))^{n+1}} \cdot \frac{2(n+1) !}{(2 n) !}=n+1 \cdot\left(\frac{3 n}{3 n+1}\right)^{n} \cdot \frac{1}{3 n+1} \cdot 2 n+1$

 $\quad \sum \limits_{n=1}^{\infty} n^{\alpha} \alpha^{n} \quad(\alpha \geq 0)$

Bei dieser Reihe habe ich überhaupt keine Ahnung mit welchem Kriterium ich anfangen soll

Answer 1

$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)$ divergiert,

denn die Reihenglieder bilden keine Nullfolge:

${{2n}\choose {n}}\geq 1$. Damit ist das notwendige Kriterium

für die Konvergenz der Reihe nicht erfüllt.

Das Quotientenkriterium für die zweite Reihe liefert

$|\frac{a_{n+1}}{a_n}|= \cdots = \frac{1}{3}\cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{n+2}}\cdot n^n=$

$=\frac{1}{3}\cdot \frac{(2+2/n)(2+1/n)}{(1+1/n)^2}\cdot \frac{1}{(1+1/n)^n}\rightarrow \frac{4}{3e}<1$.

Daher konvergiert die Reihe (sogar absolut).

Comments

Vielen dank, habe mittlerweile die aufgabe lösen können. Komme aber bei den anderen aufgaben nicht weiter

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Habe meine Antwort ergänzt!

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Vielen dank!

Haben Sie einen Ansatz für die letzte Reihe?

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Für $\alpha=0$ ist die Reihe trivialerweise konvergent.

Für $\alpha>0$ liefert das Quotientenkriterium

$\frac{(n+1)^{\alpha}\alpha^{n+1}}{n^{\alpha}\alpha^n}=(1+1/n)^{\alpha}\cdot \alpha\rightarrow ...$

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Jetzt schon den Grenzwert betrachten? :/   der nächste schritt wäre dann das 1/n gegen 0 konvergiert, die 1 auf die 1. aber was macht man mit der hochzahl  ?

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$x\mapsto x^{\alpha}$ ist eine stetige Funktion und genügt

daher dem Folgenkriterium für Stetigkeit.

Answer 2

$\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)$

ist doch keine Nullfolge. Also nix mit Leibniz.