Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems mit komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauk-Algorithmus alle Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems mit komplexen Koeffizienten:

\( \begin{aligned} 2 x+i z & =2+5 i \\ x-3 y-i z & =-2+4 i \\ i x+y+z & =3-i \end{aligned} \)

(b) Berechnen Sie mit dem Gauk-Jordan-Verfahren die Inverse der Matrix

\( A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & i \\ 1 & -3 & -i \\ i & 1 & 1 \end{array}\right) \)

und verwenden Sie die Inverse, um Ihr Ergebnis aus (a) zu überprüfen.

Problem/Ansatz:

Ich habe ein Problem beim berechnen dieser Aufgabe. Das Gauß Verfahren ist mir bekannt und das bereitet mir auch nicht das Problem. Ich verstehe nicht wie ich in diesem Beispiel explizit mit den komplexen Zahlen umgehen soll. Zeilen und Spalten tauschen hat mir auch nicht weitergeholfen. Hat jemand einen Lösungsansatz?

Answer 1

\(\begin{aligned} 2 x+i z & =2+5 i \\ x-3 y-i z & =-2+4 i \\ i x+y+z & =3-i \end{aligned} \)

Kannst du ja deutlicher schreiben als

\(\begin{aligned} 2 x+ 0 y +i z & =2+5 i \\ x-3 y-i z & =-2+4 i \\ i x+y+z & =3-i \end{aligned} \)

Dann 2 * 2. Zeile minus 1. Zeile gibt

\(\begin{aligned} 2 x+ 0 y +i z & =2+5 i \\ 0x-6 y-3i z & =-6+3 i \\ i x+y+z & =3-i \end{aligned} \)

Dann 2 * 3. Zeile minus i*1. Zeile gibt
\(\begin{aligned} 2 x+ 0 y +i z & =2+5 i \\ 0x-6 y-3i z & =-6+3 i \\ 0x+2y+3z & =11-4i \end{aligned} \)

Dann 3 * 3. Zeile plus 2. Zeile gibt
\(\begin{aligned} 2 x+ 0 y +i z & =2+5 i \\ 0x-6 y-3i z & =-6+3 i \\ 0x+0y+(9-3i)z & =27-9i \end{aligned} \)

==>   z = \(   \frac{27-9i}{9-3i} = 3\)

Dann oben einsetzen und y=1-2i und dann x=1+i ausrechnen.