Zeige, dass f streng monoton wachsend ist

Question

Sei f: (-1,1) → R gegeben durch

f (x) = (2x)÷ (1-x²)

a) Zeige, dass f streng monoton wachsend ist

b) Zeige, dass f:(-1,1) → R bijectiv ist

c) Berechne die Umkehrabbildung f^-1 explizit

Answer 1

a) Hier findest du den Weg:

https://www.mathe-lexikon.at/analysis/differentialrechnung/kurvendiskussion/monotonie.html

Leite f(x) ab mit der Quotientenregel!

c) nach x umstellen:

y= (2x)/(1-x^2)

y*(1-x^2) = 2x

y-x^2y-2x =0

yx^2+2x-y= 0

abc- Formel:

(-2+-√(4-4*y*(-y))/(2y)

x1/2 = -1/y+- (√4+4y^2))/2y = -1/y+- √(1+y^2) / y

x und y vertauschen:

y= -1/x+-√(1+x^2) /x = f^-1(x)

Der Definitionsbereich muss für f(x) eingeschränkt werden.

Comments

Verstehe hier das mit der Quotientenregel nicht, komme hier nicht weiter

Answer 2

Verwende z.B. https://www.ableitungsrechner.net/ zur Hilfe und Selbstkontrolle

Wenn bei einem Schritt konkret Verständnisprobleme auftreten dann kurz melden. Da in der Ableitung sowohl der Zähler als auch der Nenner bedingt durch die Quadrate immer positiv sind ist die Funktion streng monoton steigend.