Wie lässt sich aus diesen Angaben zeigen, dass die Funktion konstant ist?

Question

Aufgabe:

f:[0,1]→ℝ zweifach stetig differenzierbar

f(0)=f(1)=0 und f''(x)+f'(x)-f(x)=0 für x ∈ [0,1]

z.z.: ⇒ f(x)=0 für alle x ∈ [0,1]

Comments

Es gibt verschiedene Möglichkeiten. Was ist aktuell Thema bei Euch?

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Mittelwertsatz und Differenzierbarkeit

Answer 1

Dann vielleicht so: Wenn f nicht konstant gleich 0 ist:

Weil f auf [0,1] stetig ist, nimmt es an einer Stelle $z \in [0,1]$ sein Maximum an. Weil die Funktionswerte an den Rändern gleich 0 sind, ist $z \in (0,1)$ und $f(z)>0$. Weil z eine Extremstelle ist, ist $f'(z)=0$. Aus der Differentialgleichung für f folgt $F´f''(z)=f(z)>0$. Das bedeutet aber, dass bei z eine Minimum liegt. Widerspruch.

Comments

Zählt dies als Beweis?

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Entscheide selbst. Ist die Argumentation schlüssig? Verstehst Du jeden Schritt?

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Was bedeutet dieser Schritt $F´f''(z)=f(z)>0$ bzw. Ist dieser korrekt aufgeschrieben?

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Da haben meine Finger gezittert, dann habe ich nicht richtig gelöscht. Also wegen $f'(z)=0$ erhält man $f''(z)=f(z)>0$