Zirkulation eines Feldes bestimmen?

Question

Aufgabe:

Sei C die Ellipse in der die ebene 2x+3y-z=0 den Zylinder x²+y²=12 schneidet.

es soll gezeigt werden, dass die Zirkulation des Feldes $\vec{v}$=(x+y+2z,x+2y+3z,2x+3y+z)^T um C Null ist.

Problem/Ansatz:

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Der Weg $C$ ist die Schnittlinie einer Ebene und eines Zylinders. Daher drängen sich zur Parametrisierung Zylinerkoordinaten regelrecht auf:$$\vec r=\sqrt{12}\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\2\cos\varphi+3\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Das Vektorfeld in Abhängigkeit der Variablen $\varphi$ lautet:$$\vec v=\begin{pmatrix}x+y+2z\\x+2y+3z\\2x+3y+z\end{pmatrix}=\sqrt{12}\begin{pmatrix}7\sin\varphi+5\cos\varphi\\11\sin\varphi+7\cos\varphi\\6\sin\varphi+4\cos\varphi\end{pmatrix}$$Das fürht uns zu der gesuchten Zirkulation:$$I=\oint\limits_0^{2\pi}\vec v(\vec r(\varphi))\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=12\oint\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}7\sin\varphi+5\cos\varphi\\11\sin\varphi+7\cos\varphi\\6\sin\varphi+4\cos\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\-2\sin\varphi+3\cos\varphi\end{pmatrix}d\varphi$$$$\phantom I=12\oint\limits_0^{2\pi}\left(-19\sin^2\varphi+16\sin\varphi\cos\varphi+19\cos^2\varphi\right)d\varphi$$$$\phantom I=12\oint\limits_0^{2\pi}\left(19\cos(2\varphi)+8\sin(2\varphi)\right)d\varphi=0$$

Answer 2

Du musst hier kein Integral ausrechnen sondern kannst den Integralsatz von Stokes anwenden.

Wenn die Rotation von $\vec v$ Null ist, dann ist auch die Zirkulation um C Null. Setze dazu

$\vec v = \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x+y+2z \\ x+2y+3z \\ 2x+3y+z\end{pmatrix}$

$\frac{\partial v_1}{\partial y} = \frac{\partial v_2}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial v_1}{\partial z} = \frac{\partial v_3}{\partial x} = 2$

$\frac{\partial v_2}{\partial z} = \frac{\partial v_3}{\partial y} = 3$

Damit ist

$\operatorname{rot} \vec v = \begin{pmatrix} 3-3 \\ 2-2 \\ 1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\end{pmatrix}$

Wenn $E$ zum Beispiel die Ellipsenfläche bezeichnet, dann gilt nach Stokes

$\int_{C}\vec v \cdot d\vec x = \iint_E \operatorname{rot} \vec v \cdot d\vec\sigma = 0$