Berechnung eines Kurvenintegrals

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Kurvenintegral

$\displaystyle \int \limits_{\vec{\gamma}} z^{2} d s .$

Problem/Ansatz:

Hey, ich komme bei dieser Teilaufgabe nicht weiter. Mir ist nicht klar ob man dieses Kurvenintegral mit der skalar-Methode berechnen soll oder doch vektoriell. Ich hoffe ein Experte kann mir weiterhelfen :)

Danke im Voraus.

Comments

$ds$ deutet darauf hin, dass es eine Kurvenintegral 1. Art ist.
Aber um es zu bestimmen, benötigt man den konkreten Weg $\gamma$.

Gib also bitte noch $\gamma$ an.

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Hey, danke erstmal für die schnelle Antwort.

Text erkannt:

Aufgabe 9.2. (4,5 Punkte) Wir betrachten die Kurve
$\vec{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c} e^{2 t} \cos t \\ e^{2 t} \sin t \\ e^{2 t} \end{array}\right), \quad t \in[0,2 \pi]$
(i) Berechnen Sie die Länge dieser Kurve.
(ii) Berechnen Sie das Kurvenintegral
$\int \limits_{\vec{\gamma}} z^{2} d s .$

man muss $\gamma$ im Punkt (i) berechnen, welches ich jedoch noch nicht getan habe.

Wenn es ihnen nichts ausmacht können sie i machen :)

Mfg

Answer 1

(i)

$ds = \left| \dot \gamma (t) \right| dt$

$\dot \gamma (t) = (e^{2 t} (2 \cos(t) - \sin(t)), e^{2 t} (\cos(t) + 2 \sin(t)), 2 e^{2 t})^T$

$\left| \dot \gamma (t) \right| =\sqrt{ e^{4 t} (2 \cos(t) - \sin(t))^2 + e^{4 t} (\cos(t) + 2 \sin(t))^2 + 4 e^{4 t} } = 3e^{2t}$

Länge von $\gamma$:

$\int_0^{2\pi}\left| \dot \gamma (t) \right| dt = \int_0^{2\pi}3e^{2t}\; dt = \frac 32 \left(e^{4\pi}-1\right)$

(ii)

$\int_{\gamma}z^2\;ds = \int_0^{2\pi} e^{4t} \left| \dot \gamma (t) \right| dt = 3\int_0^{2\pi} e^{6t} \; dt = \frac 12 \left(e^{12\pi}-1\right)$