LGS Umformungen - Lösungsweg gesucht (Endergebnis vorhanden)

Question

Für z∈C betrachten wir eine Funktion der Form f(z)=a⋅z+b, wobei a und b selbst komplexe Zahlen sind.

f(3+2i)=2−11i
f(4)=−10i−6

Lösung:

f(3+2i)=a⋅(3+2i)+b=2−11i
f(4)=a⋅4+b=−10i−6

Zu lösen ist also das folgende lineare Gleichungssystem:

  (3+2i 1) * (a) =  (2-11i)
  ( 4      1) * (b) =  (−10i−6)

Nach wenigen Umformungen gelangt man zur Lösung a= −3i−2, b= 2i+2

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Was für Umformungen werden da gemacht, sodass man auf a&b kommt? Wie kommt man auf diese Werte?

Answer 1

Eine Möglichkeit (es gibt auch andere) ist folgende: Das LGS lautet$$\begin{pmatrix}3+2\mathrm i&1\\4&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-11\mathrm i\\-6-10\mathrm i\end{pmatrix}.$$Subtrahiere nun die zweite Zeile von der ersten und erhalte$$\begin{pmatrix}-1+2\mathrm i&0\\4&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-\mathrm i\\-6-10\mathrm i\end{pmatrix}.$$ Die neu entstandene erste Zeile liefert nun$$a=\frac{8-\mathrm i}{-1+2\mathrm i}=-2-3\mathrm i.$$Mit diesem Wert für \(a\) bestimme \(b\) aus der zweiten Zeile.