Wie kann man beweisen, dass die 3 elementaren Umformungen die Lösungsmenge eines LGS nicht verändern?

Question

Wie kann man beweisen, dass alle drei elementaren Umformungen eines linearen Gleichungssystems die Lösungsmenge nicht verändern?

Die drei elementaren Umformungen sind:

1. Addition des λ-fachen einer Gleichung zu einer anderen.

2. Vertauschung der Reihenfolge der Gleichungen.

3. Multiplikation einer Gleichung mit λ ungleich 0.

Comments

Poste doch mal die drei elementaren Umformungen, um die es gehen soll. Gerne auch voll ausformuliert und nicht nur in Worten.

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1 Addition des λ fachen einer Gleichung zu ener anderen

2 Vertauschung der Reihenfolge der Gleichungen

3 Multiplikation einer Gleichung mit λ ungleich 0

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Habe das oben ergänzt.

Die Lösungsmenge besteht aus Tupeln, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Da kommt es nicht auf die Reihenfolge der Gleichungen an. Man muss bei allen Gleichungen testen. --> 2. ist erlaubt.

3. ist richtig, denn A = B gdw kA = kB , k≠0.

Nun bleibt noch 1.

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Danke für deine Antwort, was meinst du mit man muss bei allen Gleichungen testen?

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muss bei allen Gleichungen testen?

Bsp. LGS

x + y = 10

x - y = 2

Lösung: x = 6, y = 4.

Passt in beiden Gleichungen. Zur Kontrolle musst du das testen:

6 + 4 = 10

6 - 4 = 2.

Die Reihenfolge, in der ich das teste, ist egal.

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Vermutlich wird dieser Artikel etwas helfen: https://www.matheretter.de/wiki/lgs-rechnen (enthält jedoch keine mathematischen Beweise)

Answer 1

Hallo Community, MatheLounge hat mich aufgefordert, dieses alte Ding von 2018 noch zu beantworten.  Ich würde auch 5 Zusatzpunkte dafür bekommen.  Also meinetwegen.  Meine Antwort von 2018 wurde komischerweise gelöscht.

Ich löse die Aufgabe für n = 2.  Der Leser mag das mit Summenzeichen erweitern auf beliebiges n.  Ich löse die Aufgabe für Umformung 1.  Umformung 3 entsprechend.

LGS 1:
a * x_1 + b * x_2 = c  (Gl. 1)
d * x_1 + e * x_2 = f  (Gl. 2)

LGS 2:
Addition des λ-fachen von Gl. 1 zu Gl. 2:
a * x_1 + b * x_2 = c  (Gl. 1)
(λa+d) * x_1 + (λb+e) * x_2 = λc+f  (Gl. 2a)
(λ ungleich 0)

x_1 und x_2, die LGS 1 lösen, lösen auch LGS 2, weil wir auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe gemacht haben.

x_1 und x_2, die LGS 2 lösen, lösen auch LGS 1, weil man im LGS 2 von Gl. 2a das λ-fache von Gl. 1 abziehen kann.