Aufgaben zur Fibonacci-Folge

Question

Aufgabe:

Die Fibonacci-Folge $c_{n}$ $n\in\mathbb{N}_0$ ist rekursiv definiert durch$$c_0=c_1=1,\quad c_{n+1} = c_{n} + c_{n-1} \quad \text{für}\space n\in\mathbb{N}$$

Wir setzen $x_n = \frac{c_{n+1}}{c_n}$  $(n \in\mathbb{N}_0)$. Zeigen Sie:

(a) $x_{n+1} = 1+ \frac{1}{x_n}$ für alle n ∈ ℕ_0.

(b) Mit $g=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ gilt:

$|x_{n}-g| \le \frac{1}{g^{n+1}}$  für alle $n\in\mathbb{N}_0$, und $x_n\to g$ für $n\to\infty$.

Hinweis: Induktion! Beachte dabei: $g = 1+\frac{1}{g}$ .

(c) Die Potenzreihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}z^{n}$ hat den Kovergenzradius $R=\frac{1}{g}$

(d) Für z ∈ ℂ mit |z|< $\frac{1}{g}$ gilt:$$\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}z^{n} = \frac{1}{1-z-z^2}$$Hinweis: Multiplizieren Sie beide Seiten mit $(1 − z − z^2)$ und fassen Sie gleiche Potenzen von $z$ zusammen.

Problem/Ansatz:

Zu (a): Ich hätte gesagt, dass man für x_n $\frac{cn+1}{cn}$ einsetzt und damit versucht weiterzurechnen.

Zu (b): Der Hinweis Induktion bringt mir leider nichts, weil ich nicht, weiß, wie ich durch Induktion hier zum Ergebnis kommen soll.

Zu (c): Ich glaube, ich muss den Konvergenzradius berechnen und das Ergebnis vergleichen

zu (d): Ich weiß leider nicht, wie ich das zeigen kann.

Kann mir da jemand behilflich sein? Danke im Voraus.
Euer Winterzwerg200

Answer 1

Hallo

a) ja einfach nnachrechnen.

b) zeigen richtig für n=1, dann vors richtig für n dann xn durch xn+1 ersetzen und folgern.

c) ja

d) Hinweis benutzen!

lul

Comments

Hallo lul,

danke schonmal für die Hilfe. Teilaufgabe a hab ich jetzt gelöst, allerdings scheitere ich jetzt am Induktionsanfang bei Teilaufgabe b. Wir müssen ja zunächst zeigen, dass die Ungleichung für n = 0 gilt. (wegen ℕ₀) Ich habe das jetzt soweit umgeformt, dass ich bis | 1-\( \frac{1ü\sqrt{5}{2} \) | ≤ \( \frac{2}{1+\sqrt{5}} \) gekommen bin. Wie zeige ich denn jetzt, dass das tatsächlich gilt?

Danke und mfg

Winterzwerg200

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Außerdem habe ich bei Teilaufgabe c versucht, den Konvergenzradius zu ermitteln, aber ich kann ja aufgrund der rekursiven Definition der Fibonacci-Folge nichts für c_n einsetzen. Hast du da vielleicht einen Ansatz für?

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b) x0=1 also |1-g|<=1/g und nach dem Hinweis ist 1/g=g-1

zu c beachte xn->g für n->oo und dann Quotientenkriterium!

meist braucht man die Anfangsaufgaben also a,b für c, drum fangen die Fragen nicht mit c an!

lul