Beweis Summe und integral

Question

Aufgabe:

$$ \Phi(s)=\sum_p \frac{\log p}{p^s}=\int_1^{\infty} \frac{d \vartheta(x)}{x^s}=s \int_1^{\infty} \frac{\vartheta(x)}{x^{s+1}} d x=s \int_0^{\infty} e^{-s t} \vartheta\left(e^t\right) d t . $$ 

$$\vartheta(x)=\sum \limits_{p\leq x}log(p)$$
Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht so ganz wie aus der Summe das Integral wird. Mein Prof konnte mir vorerst auch nicht helfen. Und ich hoffe hier einen Tipp oder Ansatz zu finden

Answer 1

Hallo,

die Formulierung mit dem \(d\theta\) sagt mir nix. Ich kann aber den folgenden Term erklären. Du hast nicht gesagt, was die p sind - ich nehme mal an natürliche Zahlen. Dann teile ich das Integral auf in Integrale über \([n,n+1]\). Für \(x \in [n,n+1)\) ist \(\theta(x)=\sum_{k=1}^n\log(k)=\theta(n)\). Also

$$s\int_n^{n+1}\frac{\theta(x)}{x^{s+1}}\;dx=\left[ -\theta(n)x^{-s} \right] _n^{n+1}$$

Damit berechnen wir das Integral:

$$s\int_1^{\infty}\frac{\theta(x)}{x^{s+1}}\;dx=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^n\log(k)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\right)=\\ \quad \sum_{k=1}^{\infty}\log(k) \sum_{n=k}^{\infty}(n^{-s}-(n+1)^{-s})=\sum_{k=1}^{\infty}\log(k)n^{-s}$$

Gruß Mathhilf