Aufgabe:
(a) Gegeben sei die Ableitung \( T: \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), p \mapsto p^{\prime} \), von der wir bereits wissen, dass sie linear ist. Bestimmen Sie eine Basis \( B \) von \( \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \) und eine Basis \( C \) von \( \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \), sodass
\( M(T, B, C)=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) . \)
(b) Auf den \( \mathbb{R} \)-Vektorräumen \( V=\mathbb{R}^{2,2} \) und \( W=\mathbb{R}^{2,1} \) betrachten wir die lineare Abbildung
\( S: V \rightarrow W,\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} a-2 c \\ b+d \end{array}\right) . \)
Bestimmen Sie die Matrix \( M(S, B, C) \) bezüglich der Basen
\( B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad C=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right) . \)
(c) Geben Sie begründet ein Beispiel an für zwei Matrizen \( A, B \in \mathbb{R}^{2,2} \) mit \( A \cdot B \neq B \cdot A \).
Problem/Ansatz:
Kann mir jemand bei den aufgaben helfen ?
