Formel zum bestimmen von MC,B(f)

Question

Aufgabe:

Ich möchte M_C,B(f) bestimmen, wobei ich folgendes schon gegeben habe:

M_B,B(f), M_B,B, M_B,C, M_C,B und M_C,C(f)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man das ganze einfach berechnen kann, nur leider kenne ich die Formel nicht mehr und finde diese auch nicht mehr. Könnte mir jemand die Formel eben nennen?

Comments

Du solltest schon erläutern, worum es geht. Ich nehme mal an um die Basis-Darstellungs-Matrix einer linearen Abbildung f. Ist dann B eine Basis des Definitionsbereichs oder des Bildbereichs?

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Text erkannt:

(1) \( \left(3+4+3\right. \) Punkte) Es sei \( \mathcal{B} \) die Standardbasis von \( \mathbb{R}^{2} \) und \( \mathcal{C}=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)\right\} \) eine weitere Basis von \( \mathbb{R}^{2} \).
(a) Berechnen Sie \( M_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}, M_{\mathcal{B}, \mathcal{C}} \) und \( M_{\mathcal{C}, \mathcal{B}} \).
(b) Es sei \( f \in \operatorname{End}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) mit
\( M_{\mathcal{B}, \mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{ll} -1 & 1 \\ -6 & 4 \end{array}\right) . \)
Bestimmen Sie \( M_{\mathcal{C}, \mathcal{B}}(f) \) und \( M_{\mathcal{C}, \mathcal{C}}(f) \).

a) hab ich dabei schon ausgerechnet, bei b) schon MC,C(f) berechnet aber die Formel für MC,B(f) fällt mir nicht ein

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Vielleicht kannst Du meine Frage nach Euren Bezeichnungen beantworten.

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Ich kennen die Schreibweisen \({_A}M_B\) und \(M^B_A\).

Eure Notation weicht davon ab. Wie habt ihr in der Vorlesung \(M_{A,B}\) vereinbart?

(1) Eingangsgrößen bezüglich \(B\), Ausgangsgrößen bezüglich \(A\)

(2) Eingangsgrößen bezüglich \(A\), Ausgangsgrößen bezüglich \(B\)

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So haben wir das ganze damals definiert, in anderer Schreibweise wäre M_A,B = _AM_B

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1 oder 2 in T's Frage?

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1. eingangsgrößen B, ausgangrößen A

Answer 1

Aloha :)

Du möchtest \({_C}M(f)_B\) bzw. \(M_{C,B}(f)\) bestimmen. Das ist die Abbildungsmatrix für \(f\), die Eingangsgrößen bezüglich der Basis \(B\) erwartet und Ausgangsgrößen bezüglich der Basis \(C\) liefert.

\(B\) ist die Standardbasis und die Basis \(C=\{\binom{1}{2};\binom{1}{3}\}\) ist gegeben. Die Vektoren innerhalb der Basis \(C\) sind bezüglich der Standardbasis \(B\) angegeben. Daher wissen wir, wie sich die Vektoren von \(C\) nach \(B\) transformieren:$$\binom{1}{0}_C=\binom{1}{2}_B\quad;\quad\binom{0}{1}_C=\binom{1}{3}_B$$und können daraus die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(C\) bilden:$${_C}\mathbf{id}_B=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 3\end{pmatrix}$$

Damit kannst du die gesuchte Matrix sofort ausrechnen:$${_C}M(f)_B={_C}\mathbf{id}_B\cdot{_B}M(f)_B=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1 & 1\\-6 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7 & 5\\-20 & 14\end{pmatrix}$$

Comments

Danke sehr :)