Aloha :)
Schreibe dir das LGS in Form einer Tabelle auf:$$\begin{array}{rrr|r}x & y & z & =\\\hline1 & -1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 0\end{array}$$
Nun wendest du den Gauß-Algorithmus an. Das Ziel dabei ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen.$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & -1 & 1 & 1 &+\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 1 & 0\\\hline\pink1 & 0 & 2 & 1 & \Rightarrow\pink x+2z=1\\0 & \pink1 & 1 & 0 & \Rightarrow \pink y+z=0\end{array}$$
Die beiden erhaltenen Bedinungsgleichungen kannst du nun nach den pinken Variablen umstellen:$$\pink x=1-2z\quad;\quad \pink y=-z$$und damit alle Lösungen des LGS angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2z\\-z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-2\\-1\\\phantom-1\end{pmatrix}$$Da an die Variable \(z\) keine weiteren Bedingungen gestellt werden, kann sie aus ganz \(\mathbb R\) gewählt werden.
