Unterbestimmtes LGS mit drei Variablen

Question

Kann mir jemand die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems lösen? Ich verstehe die Berechnung von unterbestimmte LGS leider noch nicht.

x - y + z = 1

y + z = 0

Answer 1

Aloha :)

Schreibe dir das LGS in Form einer Tabelle auf:$$\begin{array}{rrr|r}x & y & z & =\\\hline1 & -1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 0\end{array}$$

Nun wendest du den Gauß-Algorithmus an. Das Ziel dabei ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen.$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & -1 & 1 & 1 &+\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 1 & 0\\\hline\pink1 & 0 & 2 & 1 & \Rightarrow\pink x+2z=1\\0 & \pink1 & 1 & 0 & \Rightarrow \pink y+z=0\end{array}$$

Die beiden erhaltenen Bedinungsgleichungen kannst du nun nach den pinken Variablen umstellen:$$\pink x=1-2z\quad;\quad \pink y=-z$$und damit alle Lösungen des LGS angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2z\\-z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-2\\-1\\\phantom-1\end{pmatrix}$$Da an die Variable $z$ keine weiteren Bedingungen gestellt werden, kann sie aus ganz $\mathbb R$ gewählt werden.

Comments

Wieso ist es denn so wichtig, genau eine Eins zu haben? Ich dachte immer, man muss die Zeilen so umformen, dass diese Stufenform entsteht.

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Genau eine Eins pro Spalte brauchst du, damit du am Ende die Variablen so wie beschrieben umstellen kannst. Die "pinken" Variablen hängen dann ausschließlich von den nicht-"pinken" Variablen ab.

Du kannst das Gleichungssystem auch mit einer Stufenform lösen. Das funktioniert sehr einfach bei eindeutig lösbaren LGS. Dazu brauchst du aber genauso viele Gleichungen wie Variablen vorhanden sind. Zum Lösen von unterbestimmten Gleichungssystem bist du mit der Stufenform leider noch nicht fertig. Da ist es am einfachsten, wie beschrieben, die Einsen zu isolieren.

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Achso, alles klar. Danke für die Hilfe. :)

Answer 2

Das sind 2 Ebenen im Raum, die sich hoffentlich in einer Geraden schneiden,

und, das ja...