IQ Intelligenztest, Normalverteilung

Question

Aufgabe:

Intelligenztests sind i.d.R. so konstruiert, dass die IQ-Punkte annähernd einer Normalverteilung folgen. Bei einem bestimmten Test sind die Parameter  µ = 126
und  σ =  2

Ein Bildungsinstitut möchte nun die Ergebnisse untersuchen, um darüber statistische Aussagen treffen zu können.
a. Wie hoch ist der Anteil der getesteten Personen in Prozent, die einen IQ von weniger als 126.54 Punkten erreichen?

b. Welche Punkteanzahl wird von 88% der getesteten Personen beim IQ-Test unterschritten?

c. Das Bildungsinstitut interessiert sich für den Anteil der Personen, die IO-Punkte zwischen 123.16 und 128.84 erreicht haben. Wie hoch ist der Anteil der Personen in Prozent, deren IO-Punkte in diesem Intervall enthalten sind?

d. Das Bildungsinstitut möchte wissen, welches symmetrisch um / gelegene Intervall die erreichten IQ-Punkte der getesteten Personen mit einer
Wahrscheinlichkeit von 90% enthält. Wie lautet die untere Grenze dieses Intervalls?

e. Das Bildungsinstitut möchte nun die Gewichtung der Aufgaben so ändern, dass die erreichten IQ-Punkte der getesteten Personen mit hoher Wahrscheinlichkeit im Intervall [123.16; 128.84] enthalten sind (siehe (c)). Die Wahrscheinlichkeit dafür soll auf 90% gesteigert werden (siehe (d)). Auf welchen Wert müsste die Varianz gesenkt werden?

Problem/Ansatz

Guten Abend

Dies hier ist mein letzter Test, der mich an den Rande der Verzweiflung bringt.

Ich habe für den 1. erst bei a) Φ= 0,27  und für c) (Φ- 1,42) - (Φ1,42)

weiter komme ich nicht

Da dies mein letzter Test ist wäre ich um jede Hilfe sehr dankbar

Answer 1

Aloha :)

Wir haben hier den IQ als normalverteilte Zufallsvariable mit $\green{\mu=126}$ und $\green{\sigma=2}$ vorliegen.

Zur Beantwortung der folgenden Fragen nutzen wir die Standardnormalverteilung $\phi(z)$, die du mit einem Rechner bestimmen oder in einer Tabelle nachschlagen kannst. Die nötige Transformation für die Zufallsvariable Q lautet:$$P(q<Q)=\phi\left(\frac{Q-\mu}{\sigma}\right)=\phi\left(\frac{Q-126}{\sigma}\right)$$

a. Wie hoch ist der Anteil der getesteten Personen in Prozent, die einen IQ von weniger als 126.54 Punkten erreichen?

$$P(q<126,54)=\phi(0,27)\approx\pink{60,64\%}$$

b. Welche Punkteanzahl wird von 88% der getesteten Personen beim IQ-Test unterschritten?

$$P(q<Q)=0,88\implies\phi\left(\frac{Q-126}{2}\right)=0,88\implies\frac{Q-126}{2}=\phi^{-1}(0,88)\approx1,174987\implies$$$$Q\approx1,174987\cdot2+126\approx\pink{128,35}$$

c. Das Bildungsinstitut interessiert sich für den Anteil der Personen, die IO-Punkte zwischen 123.16 und 128.84 erreicht haben. Wie hoch ist der Anteil der Personen in Prozent, deren IO-Punkte in diesem Intervall enthalten sind?

$$P(123,16<q<128,84)=P(q<128,84)-P(q<123,16)=\phi(1,42)-\phi(-1,42)\approx\pink{84,44\%}$$

d. Das Bildungsinstitut möchte wissen, welches symmetrisch um / gelegene Intervall die erreichten IQ-Punkte der getesteten Personen mit einer
Wahrscheinlichkeit von 90% enthält. Wie lautet die untere Grenze dieses Intervalls?

$$0,9\stackrel!=P(\mu-x<q\le\mu+x)=P(q<\mu+x)-P(q<\mu-x)$$$$\phantom{0,9}=\phi\left(\frac{(\mu+x)-\mu}{2}\right)-\phi\left(\frac{(\mu-x)-\mu}{2}\right)=\phi\left(\frac x2\right)-\phi\left(-\frac x2\right)$$Wir nutzen nun die Symmetrie $\green{\phi(z)+\phi(-z)=1}$ bzw. $\green{\phi(-z)=1-\phi(z)}$ aus:$$\phantom{0,9}=\phi\left(\frac x2\right)-\left(1-\phi\left(\frac x2\right)\right)=2\phi\left(\frac x2\right)-1$$Auf beiden Seiten $1$ addiert liefert:$$2\phi\left(\frac x2\right)=1,9\implies\phi\left(\frac x2\right)=0,95\implies\frac x2=\phi^{-1}(0,95)\approx1,644854\implies x\approx3,29$$Das gesuchte Intervall ist daher:$\quad\pink{122,71}<q<129,29$.

e. Das Bildungsinstitut möchte nun die Gewichtung der Aufgaben so ändern, dass die erreichten IQ-Punkte der getesteten Personen mit hoher Wahrscheinlichkeit im Intervall [123.16; 128.84] enthalten sind (siehe (c)). Die Wahrscheinlichkeit dafür soll auf 90% gesteigert werden (siehe (d)). Auf welchen Wert müsste die Varianz gesenkt werden?

Nach Teil (d) muss der Abstand der beiden normierten $z$-Werte $2\cdot3,29=6,58$ sein:$$\frac{\sigma_{\text{neu}}}{\sigma_{\text{alt}}}=\frac{128,84-123,16}{6,58}\implies\sigma_{\text{neu}}\approx\pink{1,7264}$$

Comments

wow, das hat alles gestimmt

vielen lieben dank für die mühe und die zeit!!