Muss man hier substituieren?

Question

Aufgabe:  ∫cos(3x³+x-π/2) dx

Die Integrationsgrenzen sind: -π bis π

Problem/Ansatz: Ich weiß, dass cos(x-pi/2)=sin(x). Das hat mir aber nicht weitergeholfen. Ich hab's mit Substitution probiert, aber komplett erfolglos. Ich kriege beim substituieren das x nicht aus dem Integranden! Online Rechner geben mir zwar eine Lösung aber keiner von denen kann mir eine Stammfunktion liefern!

Muss man hier substituieren? Geht das überhaupt? Gibt es vielleicht irgendwelche Tricks mit denen man die Funktion umformen könnte? Ich habe keine Ahnung mehr

Danke für jeden Tipp!

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\cos\left(3x^3+x-\frac\pi2\right)dx=\int\limits_{-\pi}^\pi\sin\left(3x^3+x\right)dx=0$$Die verbliebene Sinus-Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursrpung:$$\sin\left(3(-x)^3+(-x)\right)=\sin\left(-3x^3-x\right)=-\sin(3x^3+x)$$Daher heben sich das Integral von \(-\pi\) bis \(0\) und das Integral von \(0\) bis \(\pi\) gegenseitig auf.

Comments

Danke für die Antwort!

Ich verstehe allerdings nicht wie du von cos(3x³+ x - π/2) dx auf sin(3x³+x)dx kommst. cos(x-π/2) = sin(x) aber deswegen darf man doch noch nicht die 3x³  in den Sinus packen oder?

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Es gilt \(\cos(a-\frac\pi2)=\sin(a)\). Daher ist:$$\cos\left(\underbrace{3x^3+x}_{=a}-\frac\pi2\right)=\sin\left(\underbrace{3x^3+x}_{=a}\right)$$

Answer 2

Sein, man muss nicht substituieren. Wegen der Ursprungssymmetrie und der Symmetrie der Intervallgrenzen ist das Integral 0.

Answer 3

mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/