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Aufgabe 5: a) \( u(x)=1+x^{3}, \frac{d u}{d x}=3 x^{2}, d x=\frac{d u}{3 x^{2}} \) Somit ist:
\( \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}} d x=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{d u}{3 x^{2}}=\frac{1}{3} \cdot \int u^{-1 / 2} d u=\frac{2}{3} \cdot u^{1 / 2}+C=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{1+x^{3}}+C \)
b) \( u(x)=\cos (x), \frac{d u}{d x}=-\sin (x), d x=-\frac{d u}{\sin (x)} \) Somit ist:
\( \begin{aligned} \int \limits_{0}^{\pi} \cos ^{3}(x) \cdot \sin (x) d x &=\int \limits_{0}^{\pi} u^{3} \cdot \sin (x) \cdot\left(-\frac{d u}{\sin (x)}\right)=-\int \limits_{0}^{\pi} u^{3} d u=-\left.\frac{1}{4} \cdot u^{4}\right|_{0} ^{\pi} \\ &=-\left.\frac{1}{4} \cdot \cos ^{4}(x)\right|_{0} ^{\pi}=-\frac{1}{4} \cdot \cos ^{4}(\pi)+\frac{1}{4} \cdot \cos ^{4}(0) \\ &=-\frac{1}{4} \cdot(-1)^{4}+\frac{1}{4} \cdot(1)^{4}=0 \end{aligned} \)
c) \( u(x)=x^{2}-4, \frac{d u}{d x}=2 x, d x=\frac{d u}{2 x} \) Somit ist:
\( \int \limits_{-2}^{1} 10 x \cdot\left(x^{2}-4\right)^{4} d x=\int \limits_{-2}^{1} 10 x \cdot u^{4} \frac{d u}{2 x}=\int \limits_{-2}^{1} 5 u^{4} d u=\left.u^{5}\right|_{-2} ^{1}=\left.\left(x^{2}-4\right)^{5}\right|_{-2} ^{1}=-243 \)
Wieso wird hier beim Substituieren kein einziges Mal die Grenze verändert? Hab gedacht man muss die Werte der Grenze in u einsetzen?
