0 Daumen
208 Aufrufe

Aufgabe:

Berechnen Sie alle relativen Extrema von f(x) = sin(x) - 1/2*x, die im Intervall 0 ≤ x < 2π liegen.


Problem/Ansatz:

Hi Leute,

leider weiß ich nicht genau wie man eine solche Aufgabe angehen soll. Ich habe die erste Ableitung gemacht und die = 0 gesetzt. f´(x)= cos(x)-1/2 und dann kam bei mir x= (1/3)π raus. Aber was mache ich dann? Wenn ich die zweite Ableitung mache kommt f´´(x)= -sin(x) raus.

Avatar von

4 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

f '(x) = cosx- 1/2

cosx= 1/2

Der cos ist 1/2 bei 60° = pi/3 und 300° = 5/3*pi

Setze die Werte in f ''(x) ein um zu bestimmen, ob ein Max. oder Min. vorliegt.

Avatar von 35 k
300° = 5/6*pi

300° = 5/3 π

Danke, Fehler ist korrigiert

+1 Daumen

\(f(x) = sin(x) - 0,5*x\)

\(f´(x) = cos(x) - 0,5\)

\( cos(x) - 0,5=0\)

\( cos(x)=0,5\)

\(x= \frac{π}{3}\)      \(f(\frac{π}{3}) = sin(\frac{π}{3}) - \frac{π}{6}=0,5π*\sqrt{3}-\frac{π}{6}\)

Art des Extremwertes:

\(f´´(x) = -sin(x) \)

\(f´´(\frac{π}{3}) = -sin(\frac{π}{3})<0    \)  Maximum

Avatar von 36 k

Dann fehlt noch das relative Minimum bei

x =  2π - π/3  =  5/3 π  ∈  [0 ; 2π[

0 Daumen

Wenn ich die zweite Ableitung mache kommt f´´(x)= -sin(x) raus.

und f ' ' (  (1/3)π ) < 0, also rel. Max.

bei (1/3)π.

Dann musst du noch die Randwerte überprüfen.

Avatar von 287 k 🚀
0 Daumen

Hallo,

cos(x)-0,5 (blaue Kurve) hat im betrachteten Intervall zwei Nullstellen. Es gibt also zwei Punkte mit waagerechter Tangente. Mit der zweiten Ableitung siehst du, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt und mit f(x) rechnest du die y-Werte aus.

Außerdem ist (0|0) ein Randextremum.

:-)

Avatar von 47 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community