Logarithmus als Stammfunktion

Question

Aufgabe:

$$L(x):=\int \limits_1^x \frac{dt}{t}\ \text{für alle}\ x \in (0,\infty)$$

Zeigen sie ohne Verwendung des Logarithmus ln:

(a) Die Funktion \(L\) ist differenzierbar auf \((0,\infty)\) mit der Ableitung \(L'(x) = \frac{1}{x}\)

(b) \(L\) ist streng monoton wachsend

(c) \(L(xy) = L(x) + L(y)\ \text{für alle}\ x, y > 0\).

(d) \(L(e^x)=x\ \text{für alle}\ x\in\mathbb{R}\)

Problem/Ansatz:

(a) Ist durch den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung leicht zu zeigen

(b) Folgt aus \(\frac{1}{x}>0\ \forall x\in(0,\infty)\)

(c) Folgt aus Intervalladditivität und \(\int \limits_1^x\frac{dt}{t}=\int \limits_x^{xy}\frac{dt}{t} \) durch Substitution von \(t=xc\) und \(dt=xdc\)

(d) Genau hier hört es bei mir auf, mir fehlt auch jeder Ansatz

Answer 1

Du weißt ja schon, dass \(L\) differenzierbar ist. Also

$$\frac d{dx}L(e^x)= L'(e^x)e^x=\frac{e^x}{e^x} = 1$$

$$\Rightarrow L(e^x)=x+c$$

$$x=0\Rightarrow L(1)=0 =0+c\Rightarrow c=0$$