Integral einer periodischen Funktion

Question

Aufgabe:

Sei $f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit Periode $p>0$, d.h. es gelte $f(x+p)=f(x)$ für alle $x\in \mathbb{R}$. Beweisen Sie, dass für jedes $a\in \mathbb{R}$ gilt:

$$\int \limits_a^{a+p}f(x)dx = \int \limits_0^p f(x)dx$$

Answer 1

Sei $n\in \mathbb{Z}$ so dass $np \leq a$ und $(n+1)p > a$ ist.

Zeige

        $\displaystyle\int \limits_ {np}^{np+p}f(x)\,\mathrm{d}x = \int \limits_0^p f(x)\,\mathrm{d}x$

und

        $\displaystyle\int \limits_ {a}^{a+p}f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int \limits_ {np}^{np+p}f(x)\,\mathrm{d}x$.

Comments

Das Obere ist klar, aber wie zeige ich das untere? Das lässt sich ja nicht mehr mit $f(x) = f(x+p)$ begründen...

---

$\begin{aligned}&\int \limits_ {np}^{np+p}f(x)\,\mathrm{d}x \\=& \int \limits_ {np}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x+\int \limits_ {a}^{np+p}f(x)\,\mathrm{d}x\\=& \int \limits_ {np+p}^{a+p}f(x)\,\mathrm{d}x+\int \limits_ {a}^{np+p}f(x)\,\mathrm{d}x\end{aligned}$