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Aufgabe: "Bewiesen sie, dass {an}n∈N an = (λ* n) /( n! + 1), λ∈ R den grenzwert 0 hat."

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an = (λ·n) / (n! + 1) < (λ·n) / n! = (λ·n) / ((n - 1)!·n) = λ / (n - 1)! = 0^{+}

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Ist das dann der ganzer Beweis?

Ist das dann der ganzer Beweis?

Ja. Aber anhand deiner Nachfrage nehme ich an, du hast das nicht wirklich verstanden. Woran scheiterst du denn?

Du könntest ja noch ein n berechnen, sodass an in der ε-Umgebung um 0 liegt.

danke für dein Antwort, es ist so, dass die Beweise, die ich normalerweise in meinen Vorlesungen für ähnliche Aufgaben gesehen habe, die ε-Abstraktion des Grenzwertes verwenden.


Ja. Daher hatte ich gesagt: "Du könntest ja noch ein n berechnen, sodass an in der ε-Umgebung um 0 liegt."

λ / (n - 1)! = 0 + ε kannst du dafür nach n auflösen.

Wie sieht der ganze Beweis dann aus?


Wie sieht der ganze Beweis dann aus?

Löse die Gleichung

λ / (n - 1)! = 0 + ε

nach n auf. Du kannst auch eine Abschätzung machen.

Es geht ja nur darum ein n zu finden dass man im ε-Bereich ist.

Löse die Gleichung


wie macht man das aber? Ich habe es ausprobiert, aber ich konnte nicht weiter kommen.


ist diese lösung richtig?

Behauptung: lim_n→∞ an = 0
z.Z: ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : |(λ* n) / (n! + 1) -0|< ε ∀n ≥ n0 gilt an_0 < ε

|an - 0| = (λ·n) / (n! + 1) ≤ (λ·n) / n! = λ / (n - 1)!
λ/(n -1)! ≤ ε

Sei λ = 0 dann gilt 0_n = 0 ∀n
Sei λ != 0 dann gilt 1/(n -1)! ≤ ε/λ

(n-1)! > λ/ε, dann wählen wir n_0 = λ/ε +2

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